To liczby naturalne, podzielne tylko przez 1 i samą siebie. Liczby 0 i 1 nie są zaliczane do liczb pierwszych, ani do złożonych. Liczb pierwszych jest nieskończenie wiele. Twierdzenie to udowodnił w IV w. p.n.e. matematyk grecki Euklides....
Kuć i orać - wiersz Kazimierza Cwojdzińskiego Kuć i orać W dzień zawzięcie Bo plonów niema bez trudu Złocisty szczęścia okręcie Kołyszesz... Kuć. My nie czekajmy cudu. Robota To potęga ludu. Inwokacja do Mnemozyny - pi-emat Witolda...
Definicja ciągu Ciąg liczbowy jest to funkcja, która jest określona tylko dla liczb naturalnych większych od zera. Wyraz ogólny Wyrazem ogólnym ciągu nazywamy wyrażeniean, dzięki któremu można łatwo wyliczyć kolejne wyrazy ciągu znając...
Pitagoras (ok. 572-497 p.n.e),matematyk i filozof grecki. Pochodził z wyspy Samos, czyli wschodniej kolonii jońskiej. Mając lat 40 opuścił Jonię, która walczyła z Persami, i odbył liczne podróże, również do Indii, gdzie zetknął się z tamtejszymi...
Rozwiązywanie układów równań pierwszego stopnia z dwoma niewiadomymi metodą przeciwnych współczynników. W metodzie przeciwnych współczynników budujemy dwa równoważne układy równań takie, że w jednym są przeciwne współczynniki przy niewiadomej...
Kąt –jest to obszar płaszczyzny ograniczony dwoma półprostymi o wspólnym początku wraz z tymi półprostymi. Kąty ostre, proste, rozwarte, półpromienne, pełne. Dwusieczna kąta to półprosta o początku w wierzchołku kąta, która dzieli ten kąt na...
Zadanie 14. Ilu metrom w terenie odpowiada 1 cm na planie w skali 1:26 000? A. 26 m B. 260 m C. 2600 m D. 26000 m Zadanie 15. Na wschodzie Polska graniczy z: A. Niemcami, Czechami i Rosją, B. Czechami, Słowacją i Rosją, C....
1. Zapisywanie wyrażeń algebraicznych a.) zapisz za pomocą wyrażeń algebraicznych wzór na trzy kolejne liczby naturalne: n n + 1 n + 2 b.) zapisz za pomocą wyrażeń algebraicznych wzór na liczbę dwu cyfrową: 10a + b c.) zapisz za...
Wyrażenia algebraiczne powstają przez połączenie symboli literowych oraz liczb znakami działań i nawiasów, np. 4x+2y-3 3a+2b-c 8m-9 2(a+b) (x+y) Każde wyrażenie możemy zapisać w różny sposób,...
MEDIANA ? Wyjaśnienie pojęcia mediany MEDIANA (zwana też wartością środkową lub drugim kwantylem) to w statystyce wartość środkowa dzieląca zbiorowość (uporządkowany szereg) na dwie równe części. W jednej z tych części znajdują się jednostki o...
Opisze to w punktach, po kolei jakie czynności wykonujemy Na początku Na początku pamiętajże ta tabliczka tyczy się tylko do mnożenia liczb od 6x6 do 9x9 : 1. Pięć zawsze masz w pamięci! czyli jak mnożysz np. 7x8 to na jednej ręce...
Twierdzenie Pitagorasa Jeśli trójkąt jest prostokątny, to suma kwadratów długości przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej. Założenie: ABC jest prostokątny. Teza: a 2 + b 2 = c 2 Odwrotne twierdzenie...
Dowód 1 W każdym trójkącie prostokątnym kwadrat długości najdłuższego boku (przeciwprostokątnej) jest sumą kwadratów długości dwóch pozostałych boków (przyprostokątnych). Dlaczego? To proste: Z czterech jednakowych trójkątów i dwóch...
Zadania tekstowe z jedną niewiadomą: Zadanie 1. Suma dwóch kolejnych liczb całkowitych wynosi 93. Jakie to liczby? Zadanie 2. Suma dwóch kolejnych liczb całkowitych wynosi 86. Znajdź te liczby. Zadanie 3. Różnica dwóch liczb...
1. Bryłami obrotowymi nazywamy bryły, które powstają w wyniku obrotu figur płaskich wikół osi obrotu. 2. Wysokością walca nazywamy dwie podstawy i prostopadły ddo nich. 3. Twożąca stożka jest to odcinek łączący wierzchołek z dowolnym punktem...
Matematyka Matematyka była niegdyś rozumiana jako nauka o liczbach (arytmetyka) i figurach (bryłach) geometrycznych (geometria). Do dziś w popularnych encyklopediach określana jest jako nauka o wielkościach, czyli o stosunkach ilościowych i...
Najpierw wykonujemy działania w nawiasach. 34+(65+16)-35=34+81-35=115-35=80 Jeżeli w działaniu występuje tylko dodawanie i odejmowanie, działania wykonujemy od strony lewej do prawej....
PRACA KLASOWA Z MATEMATYKI UKŁADY RÓWNAŃ 1. Rozwiąż układy dowolną metodą: 2x+y=5 x-y=1 y+z=6 2y-0,5z=7 8x-5=y y+x=4 ___/3 p. 2. Rozwiąż zadanie używając układu równań: Jacek zbiera znaczki. Gdyby dał 50 sztuk swojej siostrze...
SPRAWDZIAN UMIEJĘTNŚCI I WIADOMOŚCI DO DZIAŁU WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE kl.1 GIMN. Grupa A Nazwisko i imię......................................................................... Za każde zadanie z poziomu koniecznego możesz uzyskać 1...
Liczba jest podzielna przez 2, gdy jej ostatnią cyfrą jest 2, 4, 6, 8 lub 0. Liczba jest podzielna przez 4, gdy jej dwie ostatnie cyfry tworzą liczbę podzielną przez 4. Liczba jest podzielna przez 5, gdy jej ostatnią cyfrą jest 0 lub 5....
Pierwiastkiem nazywamy Liczba a jest liczbą podpierwiastkową i n stopniem pierwiastka. Gdy n jest parzyste a musi być większe lub równe 0 Mnożenie pierwiastków tego samego stopnia Podczas mnożenia pierwiastków tego samego stopnia, mnożymy...
Sprawdzian dla uczniów 3 i 4 klasy SP. Pobierz załącznik
Pola i obwody figur płaskich oraz pola i objętości figur przestrzennych w załączniku poniżej.
LICZBY NATURALNE Liczby naturalne to najbardziej oczywista i natychmiastowa konstrukcja kojarząca się z matematyką. Były to pierwsze liczby na jakich w starożytności człowiek nauczył się pierwszych działań, i zaczął swoją przygodę z...
l = 2п r – długość okręgu п = 3,14 P = п r2 – pole koła a√2 – przekątna w kwadracie h = (a√3) : 2 – wysokość trójkąta równobocznego P = (a√3) : 4 – pole trójkąta równobocznego r = h : 3 – promień okręgu wpisanego w trójkąt...
Zad. 1 Oblicz ile dni i ile godzin przeżyłeś(aś)? Zapisz datę urodzin Zad. 2 120 kwadransów. Ile to godzin i minut? Zad. 3 Wykaż we właściwych jednostkach. cm= 0,9m 600mm 4,5dm 0,08 km 50, i 1\20 dm=...
"Między duchem a materią pośredniczy matematyka" HUGO STEINHAUS -------------------------------------------------------------------------------- "Oprócz matematyki nie istnieje żadna niezawodna wiedza z wyjątkiem tej, która wywodzi się z...
Wykresy funkcji sinus, cosinus, tangens, cotangens Pobierz załącznik poniżej
Rozwiązanie zadania maturalnego. Zadanie porusza następującą tematykę: funkcja kwadratowa, równoległość prostych w układzie kartezjańskim, równanie kwadratowe i inne. W przypadku jakichkolwiek wątpliwości proszę o kontakt. Pozdrawiam
W trapezie podstawy mają długość 8 cm i 4 cm. Poprowadzono odcinek do nich równoległy, który dzieli pole trapezu na połowę. Oblicz długość tego odcinka.
Dawno, dawno temu żył sobie król, który się strasznie nudził. Nie bawił go fechtunek ani jazda konna, ani nawet turniej rycerski. Był tak znudzony, że rozesłał wici po całym kraju i do państw przyjaznych - kto przyniesie interesującą grę, tego nie...
Asymptoty ukośne istnieją wtedy i tylko wtedy gdy nie istnieje asymptota pozioma, stad wniosek ze jesli istnieje asymptota pozioma to nie istnieje asymptota ukośna w danym otoczeniu. Schemat badania asymptoty ukośnej: liczymy granice w + i -...
W działalności gospodarczej realizowana jest zasada racjonalnego gospodarowania. Zasada ta orzeka, ze stojące do dyspozycji środki umożliwiające realizacje jakiegoś celu powinny być użyte w sposób gwarantujący maksymalna realizacje postanowionego...
Pitagoras, Pitagoras z Samos, Pythagoras, urodził się około 580 p.n.e., zmarł około 496 p.n.e., grecki matematyk i filozof; przyczynił się znacznie do rozwoju matematyki i astronomii, był twórcą kierunku filozoficznego zwanego pitagoreizmem....
Liczby doskonałe stanowią fascynujące zjawisko w matematyce, które wciąż przyciąga uwagę badaczy. Definiuje się je jako te liczby, których suma wszystkich dzielników właściwych (czyli dzielących się na liczbę inną niż ta liczba sama w sobie) równa...
1. Ciąg liczbowy Fibonacciego Ciąg Fibonacciego to ciąg liczb naturalnych zwanych liczbami Fibonacciego określony rekurencyjnie w sposób następujący: F0 = 0 F1= 1 Fn = Fn-1+Fn-2, dla n ≥ 2 Początkowe wartości tego ciągu to: 0, 1, 1,...
Egzamin maturalny ustny z matematyki - jesli ktos potrzebuje pomocy w przygotowaniu się do ustnej matury służe pomocą . Oto kontakt : [email protected]
Rozwinięcia kwadratowe i sześcienne wyrażeń algebraicznych to kluczowe formuły w matematyce. Pozwól, że rozbiorę każde z podanych wzorów, aby lepiej zrozumieć ich zastosowanie i interpretację. 1. Rozwinięcie kwadratu sumy : (a + b)^2 = a^2 +...
Niżej przedstawiam jedną, moim zdaniem najciekawszą, metodę rozwiązywania układów równań. Przykładowo, schemat ogólny układu uwzględnia współczynniki przy zmiennych: \[a_1X + b_1Y = c_1\] \[a_2X + b_2Y = c_2\] Powstają trzy macierze: \[...
SPIS TREŚCI. 1. CAŁKA NIEOZNACZONA: a. Całka nieoznaczona. b. Funkcja pierwotna. c. Całki funkcji elementarnych. d. Tablica całek. e. Podstawowe prawa całkowania. f. Całkowanie funkcji trygonometrycznych. g. Całkowanie funkcji wymiernej....
Równaniem trygonometrycznym nazywamy równanie w którym niewiadoma występuje wyłącznie w argumentach funkcji trygonometrycznych. Rozwiązując równanie trygonometryczne trzeba znaleźć wszystkie pierwiastki tego równania. Oto rozwiązania równań...
W prezentacji znajdziecie wszystkie niezbędne informacje na temat kątów i trójkątów. Prezentacja zawiera 73 slajdy w tym 10 zadań z rozwiązaniem.
Charakterystyka i przebieg cyklu koniunkturalnego Cykl koniunkturalny,cykl gospodarczy,wachania produkcji i zatrudnienia wokoł krotkookresowego trendu.W procesie wzrostu gospodarczego aktywność gospodarcza ulega na przemian nasilenileniom...
Funkcją określoną na zbiorze X o wartościach w zbiorze Y nazywamy takie przyporządkowanie,w którym każdemu elementowi zbioru X odpowiada dokładnie jeden element zbioru Y. Zdanie "Funkcja f argumentom ze zbioru X przyporządkowuje wartości ze...
PITAGORAS z SAMOS, żył w latach 570-496 p.n.e. Pozostawił po sobie prąd filozoficzno-religijny związany ze swoim imieniem, trwający przez dwa wieki. Trudno jest stwierdzić co dokonał sam Pitagoras, a co jego uczniowie, więc raczej należy mówić o...