Deltoid
Deltoid ("latawiec") to czworokąt, który ma oś symetrii przechodzącą przez dwa jego wierzchołki. Równoważnym warunkiem jest istnienie dwóch par przylegających boków o równych długościach. Przekątne deltoidu są wzajemnie prostopadłe – szczególnymi...
Granica ciągu nieskończonego.
Definicja: Otoczeniem , o promieniu punktu na prostej nazywamy odcinek otwarty o środku i długości Otoczeniem jest przedział otwarty Dla każdego punktu mamy: Definicja: Mówimy, że liczba jest granicą ciągu () przy dążącym do...
Pochodne
Pochodne niektórych funkcji Pochodna funkcji złożonej Pochodne funkcji trygonometrycznych praca w załączniku
Ciekawe zadanie z ciągu arytmetycznego z rozwiązaniem
Suma wyrazów ciągu arytmetycznego o nieparzystych indeksach jest równa 44, natomiast suma wyrazów o indeksach parzystych wynosi 33. Dodatkowo wiadomo, że ciąg ma nieparzystą ilość wyrazów. Podaj ile wyrazów ma ten ciąg i podaj środkowy wyraz ciągu.
Funkcje sumy, różnic i wielokrotności kąta.
Funkcje sumy, różnic i wielokrotności kąta. Funkcje sumy kątów: Sin (x + y) = sinx*cosy + cosx*siny Cos (x + y) = cosx*cosy – sinx*siny Tg (x + y) = tgx + tgy/ 1 – tgx*tgy , jeżeli cosx ¹ 0, cosy ¹ 0, cos (x + y) ¹ 0 Ctg (x + y) =...
Praca semestralna z matematyki
All by streq : ) wszystko macie w zalaczniku a w/g mnie warto tam zajrzec bo dostalem 5+ :))) Dawno, dawno temu żył sobie król, który strasznie się nudził. Nie bawił go fechtunek, ani jazda konna, ani nawet turniej rycerski. Był tak...
Zadanie z prawdopodobieństwa
Losujemy 5 liczb z 42. Określić prawdopodobieństwo, że wśród tych pięciu wylosowanych liczby trafimy 'trójkę'. Ile razy to prawdopodobieństwo jest większe od wylosowania 'czwórki' i 'piątki'?
Opis twierdzenia talesa ,kartezjusz
A' B' O A B OA/AB=OA'/A'B'. Talesa twierdzenie, jeżeli proste równoległe przecinają ramiona kąta, to wyznaczone przez nie odcinki na jednym ramieniu są proporcjonalne do odpowiednich odcinków...
Postać iloczynowa trójmianu kwadratowego
Aby wyznaczyć pierwiastki(miejsca zerowe) trójmianu kwadratowego rozkładaliśmy go na czynniki liniowe. Trójmian kwadratowy y=ax^2+bx+c,gdzie a jest rózne od zera,można rozłożyć na czynniki liniwe ,gdy jest delta róna zeru lub delta wieksza od...
Funkcje
Jeżeli dane jest działanie , które jest łączne to potęgę an gdy n jest naturalne definiuje się jako iloczyn . Jest to po prostu wielokrotne mnożenie. Gdy to działanie jest odwracalne to można zdefiniować potęgowanie, gdy wykładnik jest dowolną...
Elementy Euklidesa
Euklides żył w III wieku przed naszą erą w Aleksandrii.Jego głównym dziełem był podręcznik matematyczny pod tytułem "Elementy". O życiu Euklidesa niewiele wiadomo. Żył w Aleksandrii, która wówczas skupiała wielu wybitnych matematyków. Euklides...
Logika
Rodzaje zdań złożonych; koniunkcja; alternatywa; negacja; równoważność; implikacja; prawo de Morgana.
Tzw.plany zakładania firmy. W moim przypadku salonu fryzjerskiego
Inwestuję w biznes po to, by uzyskać dodatni przepływ pieniężny, czyli móc pokryć nie tylko swoje koszty utrzymania, ale także uzyskać dodatkowe pieniądze (które potrzebne mi będą np. na kolejne inwestycje). Inwestycją, którą zaplanowałam jest...
Negacja - sciąga
Negacja(~) (nieprawda,że) p ~ p 1 0 0 1 Koniugacja(^) (i) p q p^q 0 1 1 0 0 1 1 1 1 1 0 0 Równoważność() (wtedy i tylko wtedy,gdy) p q pq 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 Alternatywa(v) (lub) p q pvq...
Trysekcja kąta
Trysekcja kąta – jeden z trzech (obok podwojenia sześcianu i kwadratury koła) wielkich problemów matematyki greckiej. Problem polega na podziale kąta na trzy równe części za pomocą cyrkla i linijki. Dopiero w XIX wieku wykazano, że konstrukcja...
Inne spojrzenie na trójmian kwadratowy
Trójmian kwadratowy to inaczej równanie postaci : ax^2+bx+c=0, gdzie a!= 0. (!= oznacza nie może być). Jak najszybciej rozwiązać równanie takiej postaci ? Ano przy pomocy tzw. kanonicznej postaci trójmianu kwadratowego oraz wyróżnika...
Enrico Fermi
Praca badawcza na temat Enrica Fermiego ENRICO FERMI 1901-54 roku, włoski fizyk, profesor uniwersytetu w Rzymie, Nowym Jorku, Chicago (1938 wyemigrował z faszystowskich Włoch do USA). Jeden z najwybitniejszych ludzi dwudziestego wieku. Jeden z...
Geometria.
5. Kąt 41.Jeżeli na płaszczyźnie z danego punktu poprowadzimy dwie półproste, to utworzymy figurę, która posłuży nam do określenia pojęcia kąta. Półproste OA i OB (rys. 11) nazywamy ramionami, a ich wspólny punkt O wierzchołkiem. Otrzymaną...
Funkcje trygonometryczne
FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE Sinusem kąta ostrego w trójkącie prostokątnym nazywamy stosunek długości przyprostokątnej (a) leżącej na przeciw tego kąta do długości przeciwprostokątnej (c). sina=a/c Cosinusem kąta ostrego w trójkącie...
Czym liczyli ludzie
Tworzenie się liczb u ludów pierwotnych to przedmiot nader ciekawych studiów historycznych, już dość daleko w specjalnych dziełach posuniętych. Badania skąd pochodzą nazwy liczb, ich powinowactwa etymologiczne ( na przykład : pięć – pięść), ich...
Odporność
Odporność to zdolność organizmu do obrony przed czynnikami wywołującymi choroby, czyli drobnoustrojami chorobotwórczymi i szkodliwymi substancjami. Wszystkie elementy budowy organizmu, które ją zapewniają, nazywamy układem odpornościowym. W jego...
Planimetria- trójkąt- podstawowe własności
Trójkąt to wielokąt o trzech bokach. Jest figurą wypukłą ( oznacza to, że każde dwa punkty trójkąta możemy połączyć odcinkiem wewnątrz trójkąta) i domkniętą . Trójkąt składa się z trzech odcinków nazywanych bokami, kątami między tymi...
Powiązanie najsłynniejszych stałych czyli NAJPIĘKNIEJSZY WZÓR MATEMATYKI
Powiązanie najsłynniejszych stałych czyli NAJPIĘKNIEJSZY WZÓR MATEMATYKI Niezwykłe związki między liczbami mogą skłaniać do ogólniejszych refleksji; do zastanawiania się nad znaczeniem pojęcia liczby, nad naturą i potęgą matematyki. Wśród znanych...
Funkcje cyklometryczne
1. y=arcsinx wtedy i tylko wtedy gdy x=siny Dziedziną jest zbiór 2. y=arccosx wtedy i tylko wtedy gdy x=cosy Dziedziną jest zbiór 3. y=arctgx wtedy i tylko wtedy gdy x=tgy Dziedziną jest zbiór liczb rzeczywistych 4. y=arcctgx wtedy i...
Podnoszenie do kwadratu liczb z końcówką "5"
Aby podnieść (w pamięci) do kwadratu liczby zakończone cyfrą "5", należy wykonać następujące operacje: 1. Końcowe cyfry wyniku, to będzie "25"; 2. Początkowe cyfry otrzymujemy mnożąc liczbę utworzoną z początkowych cyfr (bez końcowej piątki)...
Funkcje trygonometryczne
Wykład niniejszy o zachowaniu się funkcji trygonometrycznych sinus, cosinus, tangens i cotangens polegał będzie na omówieniu tematu bez używania rysunków ani wykresów. Dodatkowym celem jaki sobie postawiłem jest ćwiczenie wyobraźni (imagination...
Układ piątkowy
Układ piątkowy znajduje się wśród kilku układów niedziesiątkowych, które istniały lub istnieją nawet w pewnych częściach kuli ziemskiej. Wywodzi się on z Ameryki, zarówno Północnej (gdzie można go odnaleźć wśród Eskimosów) jak i Południowej i...
Twierdzenie pitagorasa
PITAGORAS z SAMOS, żył w latach 570-496 p.n.e. Pozostawił po sobie prąd filozoficzno-religijny związany ze swoim imieniem, trwający przez dwa wieki. Trudno jest stwierdzić co dokonał sam Pitagoras, a co jego uczniowie, więc raczej należy mówić o...
Kim była Hypatia?
HYPATIA urodziła się prawdopodobnie około 370 roku. Niewiele wiadomo o jej dzieciństwie, ale prawdopodobnie, chcąc dać jej solidne wykształcenie, uczył ją ojciec, któremu pomagała przy pisaniu oraz wykładach z filozofii i matematyki, które w...
Ciągi
Definicja ciągu Ciąg liczbowy jest to funkcja, która jest określona tylko dla liczb naturalnych większych od zera. Wyraz ogólny Wyrazem ogólnym ciągu nazywamy wyrażeniean, dzięki któremu można łatwo wyliczyć kolejne wyrazy ciągu znając numery...
FRAKTALE
Fraktal, obiekt, dla którego wymiar Hausdorffa-Besicovitcha (tzw. wymiar fraktalny) jest większy od wymiaru topologicznego. Wymiar fraktalny D może być różnie zdefiniowany, najczęściej na podstawie relacji między powierzchnią lub objętością...
Prehistoryczna matematyka
Przed czterema milionami lat na Ziemi pojawili się ludzie. Stopniowo przybierali pozycję pionową i pozoztali w niej do dziś (acz dziś z powrotem zaczynają się garbić - przy komputerach). Wykonywali własnoręcznie narzędzia z kamienia. Do wykonania...
Dowód, że 7=3 (???)
Weźmy proste równanie z dwoma niewiadomymi: 16x = 12y Teraz dokonamy kilku przekształceń algebraicznych: 28x - 12x = 21y - 9y Niektóre z wyrazów przenosimy na drugą stronę równania (pamiętając oczywiście o zmianie znaków!!):...
Tales z Miletu
Tales z Miletu uważany jest za jednego z „Siedmiu mędrców” czasów antycznych i za ojca nauki greckiej. Starożytni pisarze nazywali go „pierwszym” matematykiem i astronomem. Te wyrażenia świadczą, iż była to postać o wielostronnych...
Liczby zaprzyjaźnione
Są to dwie takie liczby naturalne M i N, z których każda jest sumą podzielników właściwych drugiej(przez podzielnik właściwy danej liczby rozumiemy każdy podzielnik mniejszy od tej liczby). Pierwszą parę takich liczb, którą podał jeszcze...
Środek ciężkości
Środek ciężkości Z Wikipedii, wolnej encyklopedii. Środek ciężkości ciała lub układu ciał jest punktem, w którym przyłożona jest wypadkowa siła ciężkości danego ciała. Dla ciała znajdującego się w jednorodnym polu grawitacyjnym środek...
Tanges Cotanges
Kąt 0 30 45 60 90 Tg 0 33 1 3 ∞ Ctg ∞ 3 1 33 0 to o z kropeczkami u gory - tzn. pierwiastek
Przechodzenie od postaci ogólnej trójmianu kwadratowego do postaci kanonicznej.
Chciałem w tej pracy pokazać Wam jeden z tematów jaki obowiązuje w materiale Szkoły Średniej, a mianowicie przechodzenie z postaci ogólnej trójmianu kwadratowego do postaci kanoniczną tego trójmianu. Na wstępie zaznaczam, że będzie to wywód dla...
Funkcje trygonometryczne
Sinusem kąta α nazywamy stosunek rzędnej dowolnego punktu na kąńcowym ramieniu kąta do długości promienia wodzącego tego punktu. sin α=y/r Cosinusem kąta α nazywamy stosunek odciętej dowolnego punktu na kąńcowym ramieniu...
Wzory skróconego mnożenia
Wzorami skróconego mnożenia nazywamy regułyrachunkowe umożliwiające uproszczenie rachunków na liczbach lub wyrażeniach. Najczęściej stosujemy następujące wzory: (a+b)2 = a2 + 2ab +b2 (a+b)3= a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 (a+b) (a-b) = a2 - b2...
Heron z Aleksandrii
W drugim i pierwszym stuleciu p.n.e. świat starożytny w wyniku długotrwałych długotrwałych i niszczycielskich wojen dostał się pod panowanie Rzymu. Poziom materialny i kultu¬ralny podbitej ludności, nękanej podatkami i ździerstwem rzymskich...
Schemat Bernoullego
Wyobraźmy sobie doświadczenie, które składa się z n prób. Wyniki tych prób nie zależą od siebie. Każda próba może zakończyć się sukcesem lub porażką, przy czym prawdopodobieństwo sukcesu p i prawdopodobieństwo porażki q są stałe w każdej próbie...
Pytania i odpowiedzi z matury próbnej z matematyki (Zachodniopomorskie - 06.03.2001r.)
1) Dla jakich wartości parametru m, suma oraz iloczyn pierwiastków równania: 2(x²-1)-m(x+1)+x=0 są liczbami tego samego znaku? ODPOWIEDŹ: dla m є (-2;1) 2) a) Dla jakich wartości x wielomian W(x)=x³+bx²+cx+d , przyjmuje wartości dodatnie,...
Tales
Od najdawniejszych czasów ludzie zadawali sobie pytania o sens życia, początki świata, prawa rządzące przyrodą itd. Odpowiedzi szukali w magii, a także w ideach religijnych. W VI wieku p. n. e. w Grecji pojawili się jednak myśliciele, którzy -...
Swoboda ruchów czyli o różnych geometriach
W jaki sposób zmierzyć długość śrubki leżącej pod szafą? Ano, trzeba wyciągnąć śrubkę spod szafy, wziąć linijkę z podziałką i zmierzyć śrubkę. Ta trywialna uwaga ma jednak pewien sens - wskazuje ona mianowicie, że przemieszczenie śrubki (spod...