Wzory matematyczne

Potęga o wykładniku całkowitym ujemnym
a-n = 1an dla a ∈ R\{0} ∧ n ∈ N

Potęga o wykładniku wymiernym
amn=amn dla a ∈ R+∪{0}, m ∈ N i n ∈ N\{1}
a-mn=1amn dla a ∈ R+, m ∈ N i n ∈ N\{1}

Działania na potęgach
Jeżeli m, n ∈ R i a, b ∈ R+ albo m, n ∈ Z i a, b ∈ R i a ≠ 0 i b ≠ 0, to:
am · an = am+n
aman = am-n
(a · b)m = am · bm
(ab)m=ambm
(am)n = am·n

Działania na pierwiastkach
Jeżeli a ≥ 0, b ≥ 0, n ∈ N\{0, 1}, to:
a · b n = a n · b n
a n m = a m n
( a n ) m = a m n
a · b n = a n b n
( a n ) n = a
a b n = a n b n dla b > 0

Wzory skróconego mnożenia
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a - b)2 = a2 - 2ab + b2
a2 - b2 = (a - b)(a + b)
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
(a - b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3
a3 + b3 = (a + b)(a2 - ab + b2)
a3 - b3 = (a - b)(a2 + ab + b2)

Prawa działań na logarytmach
Przy założeniu: a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1, x > 0, y > 0:
loga(x · y) = logax + logay
loga xy = logax - logay
loga xy = ylogax
loga xn = 1n logax
logbx = logax logab
logab = 1 logba

Związki pomiędzy funkcjami trygonometrycznymi
tgx=sinxcosx=1ctgx
ctgx=cosxsinx=1tgx
sin2x + cos2x = 1 (jedynka trygonometryczna)
tgα · ctgα = 1

Funkcje kąta podwójnego
sin2α = 2sinαcosα
cos2α = cos2α - sin2α = 2cos2α - 1
tg2α = 2tgα1-tg2α
ctg2α = ctg2α-12ctgα

Funkcje połowy kąta
sinα2=±1-cosα2
cosα2=±1+cosα2
tgα2=1-cosαsinα
ctgα2=1+cosαsinα

Funkcje sumy i różnicy kątów
sin(α + β) = sinαcosβ + cosαsinβ
cos(α + β) = cosαcosβ - sinαsinβ
sin(α - β) = sinαcosβ - cosαsinβ
cos(α - β) = cosαcosβ + sinαsinβ
tg(α + β) = tgα+tgβ1-tgα·tgβ
ctg(α + β) = ctgα·ctgβ-1ctgα+ctgβ
tg(α - β) = tgα-tgβ1+tgα·tgβ
ctg(α - β) = ctgα·ctgβ+1ctgα-ctgβ

Wzory redukcyjne
sin(90° + α) = cosα
cos(90° + α) = -sinα
tg(90° + α) = -ctgα
ctg(90° + α) = -tgα

sin(270° + α) = -cosα
cos(270° + α) = sinα
tg(270° + α) = -ctgα
ctg(270° + α) = -tgα

sin(180° + α) = -sinα
cos(180° + α) = -cosα
tg(180° + α) = tgα
ctg(180° + α) = ctgα

sin(360° + α) = sinα
cos(360° + α) = cosα
tg(360° + α) = tgα
ctg(360° + α) = ctgα

Silnia n! = 1 · 2 · 3 · ... · n
Symbol Newtona Dla n, k∈N i 0 ≤ k ≤ n n k = n! k!(n-k)!

Permutacje Pn = n!

Permutacje z powtórzeniami Pn n1, n2, ..., nk = n! n1! n2! ... nk!

Wariacje bez powtórzeń Vnk = n! (n-k)!

Wariacje z powtórzeniami Wnk = nk

Kombinacje Cnk = n k = n! k!·(n-k)!

Kombinacje z powtórzeniami C- nk = n+k-1 k = (n+k-1)! k!·( n-1)!

Pochodne funkcji elementarnych

Funkcja Pochodna funkcji Uwagi

y = c y' = 0 c∈R
y = xα y' = αxα-1 α∈R (x zależne od α)
y = 1x y' = - 1x2 x∈R\{0}
y = x y' = 12x x∈R+∪{0}
y = ax y' = axlna x∈R, a∈R+
y = ex y' = ex x∈R
y = logax y' = 1x logae = 1 xlna x∈R+, a∈R+\{1}
y = lnx y' = 1x x∈R+
y = sinx y' = cosx x∈R
y = cosx y' = -sinx x∈R
y = tgx y' = 1cos2x x∈R, x≠ 12 π + kπ, k∈C
y = ctgx y' = - 1sin2x x∈R, x≠kπ, k∈C
y = arcsinx y' = 1 1-x2 x∈(-1, 1)
y = arccosx y' = - 1 1-x2 x∈(-1, 1)
y = arctgx y' = 1 1+x2 x∈R
y = arcctgx y' = - 1 1+x2 x∈R
Trójkąt


Ob = a + b + c

P=12ah



P=12absinγ =12bcsinα =12acsinβ ,

P= p(p-a) (p-b) (p-c) , gdzie p=12 (a+b+c) , (wzór Herona)

R= abc 4P , (promień okręgu opisanego),

r= Pp , (promień okręgu wpisanego).

Twierdzenie sinusów, kosinusów

asinα = bsinβ = csinγ = 2r

c2 = a2 + b2 - 2abcosγ
b2 = a2 + c2 - 2accosβ
a2 = b2 + c2 - 2bccosα
Twierdzenie Pitagorasa

a2 + b2 = c2

Czworokąty

Ob = a + b + c + d
P=12 d1 · d2 · sinα
d1, d2 - przekątne czworokąta,
α - kąt zawarty między przekątnymi
h - wysokość czworokąta


Pole czworokąta wpisanego w okrąg:
P= (p-a) (p-b) (p-c) (p-d) , gdzie p=12 (a+b+c+d)


Trapez

Obwód trapezu: Ob = a + b + c + d
Pole trapezu: P=12 (a+b)·h

Równoległobok

Ob = 2a + 2b
P = a · h = a · b · sinα
P=12 d1·d2 ·sinγ

Romb

Ob = 4a
P = a · h = a2 · sinα
P=12 d1·d2

Prostokąt

Ob = 2a + 2b
P = a · b
d= a2+b2

Kwadrat

Ob = 4a
P = a2
P=12d2
d=a2


Deltoid

Ob = 2a + 2b
P=12 d1·d2
P = a · b · sinα

Koło i okrąg

r - promień koła, π = 3,1415...

Pole koła P = πr2
Długość okręgu L = 2πr
Długość łuku l= α360° ·2πr

Pole wycinka koła o kącie środkowym α P= α360° πr2
Pole odcinka koła o kącie środkowym α P= α360° πr2 - r2sinα 2


Graniastosłupy

Pole powierzchni całkowitej: Pc = Pb + 2Pp
Objętość graniastosłupa: V = Pp · H

Sześcian

Pc = 6a2

V = a3

d = a 3

Długość promienia kuli wpisanej
r = 12 a
Długość promienia kuli opisanej
R = 12 d = a3 2


Prostopadłościan

Pc = 2ab + 2bc + 2ac

V = abc

d = a2 + b2 + c2

Ostrosłupy

Pole powierzchni całkowitej: Pc = Pb + Pp
Objętość ostrosłupa: V = 13 Pp · H

Czworościan foremny



Pc = a2 3
V = a32 12



Bryły obrotowe

Walec


Pole powierzchni bocznej: Pb = 2πrh

Pole powierzchni całkowitej: Pc = 2πr(r + h)

Objętość: V = πr2h

Stożek

Pole powierzchni bocznej: Pb = π r l

Pole powierzchni całkowitej: Pc = π r ( r + l )

Objętość: V = 13 π r2 h

Kula


Pole powierzchni całkowitej: P = 4 π r2

Objętość: V = 43 π r3

arytmetyka| algebra| geometria| analizazadania testy egzaminy ciekawostki konkursy wzory narzędzia słownik szukaj forummatematyka » wzory matematyczne