Systemy liczbowe

Systemy liczbowe to sposoby zapisywania i nazywania liczb.
Rozróżnia się systemy liczbowe pozycyjne i niepozycyjne (addytywne).
W systemach liczbowych pozycyjnych liczbę przedstawia się jako ciąg cyfr. Wartość jej jest zależna od położenia (pozycji) cyfry w liczbie. Do systemów pozycyjnych zaliczamy m.in.: dziesiątkowy, dwójkowy, ósemkowy, szesnastkowy.
Do addytywnych systemów liczbowych zaliczamy m.in.: rzymski, hieroglificzny, alfabetyczny, gdzie wartość liczby jest sumą wartości jej znaków cyfrowych.
W praktyce stosuje się głównie dziesiętny (dziesiątkowy) system liczbowy, gdzie q = 10. W technice komputerowej wykorzystuje się ponadto system liczbowy: dwójkowy (q = 2), ósemkowy (q = 8) i heksadecymalny (q = 16), w zapisie tym cyfry 0,...,9 uzupełnione są symbolami graficznymi kolejnych pierwszych liter alfabetu).
Informację o tym w jakim systemie liczbowym daną liczbę zapisano (gdy nie jest oczywiste, że jest to system liczbowy dziesiętny), umieszcza się w nawiasie w dolnym indeksie po liczbie. W przeszłości stosowano niejednorodne systemy liczbowe (rzymski zapis liczby).
Jedynkowy system liczbowy - najprostszy, możliwy system liczbowy
Do zapisu liczb w tym systemie stosuje się wyłącznie jeden znak oznaczający liczbę "1". Kolejne liczby tworzy się prizes powtarzanie tego znaku tyle razy, ile wynika to z wartości danej liczby. Tak więc np: 3 w systemie Jedynkowy jest rawness "111", a 10 = "1111111111".
System Jedynkowy jest w praktyce bards niewygodny, duż przy stosunkowo niedużych liczbach takich jak np. "1000" zapisywanie ich w systemie jedynkowym byłoby bards uciążliwe. Systemem tym posługują się jedynie nieliczne ludy pierwotne, pozostające na neolitycznym poziomie rozwoju.
System Jedynkowy jest, jako jedyny ze wszystkich systemów liczbowych, jednocześnie pozycyjnym i addycyjnym systemem liczbowym.
Traktując go jako system pozycyjny, można by uznać, że jego podstawą pozycji jest właśnie liczba 1. Np 3 w tym systemie zapisuje jak "111" gdyż:
1x10+1x11+1x12=1+1+1 = 3 :-)
Warto zauważyć, że system Jedynkowy, jest jedynym systemem pozycyjnym, w którym do zapisu liczb nie trzeba używać znaku pustego zbioru ("0").
Z kolei traktując go jako system addycyjny można uznać, że zapis liczby 3 = "111" wynika z faktu, że 1+1+1 = 3.
Ciekawostką jedynkowego systemu liczbowego jest to, że wszelkie operacje arytmetyczne można w nim sprowadzić do prostego, mechanicznego obcinania lub łączenia liczb. Jeśli np: chcemy dodać "111" (3) i "11111" (5) wystarczy, że mechanicznie skleimy obie liczby:
111+11111 (3+5)
| (tu sklej)
=11111111 (=8)
Jeśli chcemy odjąć "11111" od "111", wystarczy, że przyrównamy do siebie "długości" obu liczb i zostawimy ten "kawałek" dłuższej liczby, który "wystaje":
11111 (5)
- |(tu ciąć)
111 (3)
11 = (2)

Dwójkowy system liczbowy (inaczej binarny) to pozycyjny system liczbowy, w którym podstawą pozycji są kolejne potęgi liczby 2. Do zapisu liczb potrzebne są więc tylko dwa znaki: 0 i 1.
Jak w każdym pozycyjnym systemie liczbowym, liczby zapisuje się tu jako ciąg cyfr, z których każda jest mnożnikiem kolejnej potęgi liczby stanowiącej podstawę systemu.
Np. liczba zapisana w dziesiętnym systemie liczbowym jako 10, w systemie dwójkowym przybiera postać 10102, gdyż:
1x23 + 0x22 + 1x21 + 0x20 = 8+2 = 10
Liczby w systemach niedziesiętnych oznacza się czasami indeksem dolnym zapisanym w systemie dziesiętnym, a oznaczającym podstawę pozycji danego systemu. W celu podkreślenia, że liczba jest dziesiętna można również napisać obok niej indeks. Np. 101012 = 2110
Obliczanie wartości dziesiętnej liczby zapisanej w systemie dwójkowym:
111102 = 11110 = 1x24 + 1x23 + 1x22 + 1x21 + 0x20 = 1 x 16 + 1 x 8 + 1 x 4 + 1 x 2 + 0 x 1 = 16 + 8 + 4 + 2 = 30
Ponieważ 0 x 2n=0, oraz 1 x 2n = 2n wystarczy jeśli zsumuje się tylko te potęgi dwójki, przy których współczynnik wynosi 1.
Ósemkowy system liczbowy to pozycyjny system liczbowy o podstawie 8. System ósemkowy jest czasem nazywany oktalnym od słowa octal. Do zapisu liczb używa się w nim ośmiu cyfr, od 0 do 7
Jak w każdym pozycyjnym systemie liczbowym, liczby zapisuje się tu jako ciągi cyfr, z których każda jest mnożnikiem kolejnej potęgi liczby będącej podstawą systemu, np. liczba zapisana w dziesiętnym systemie liczbowym jako 100, w ósemkowym przybiera postać 144, gdyż:
1x82 + 4x81 + 4x80 = 64 + 32 + 4 = 100.
W matematyce liczby w systemach niedziesiętnych oznacza się czasami indeksem dolnym zapisanym w systemie dziesiętnym, a oznaczającym podstawę systemu, np. 1448 = 10010.
Dziesiętny system liczbowy, zwany też systemem decymalnym lub arabskim to pozycyjny system liczbowy, w którym podstawą pozycji są kolejne potęgi liczby 10. Do zapisu liczb potrzebne jest więc 10 cyfr: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Jak w każdym pozycyjnym systemie liczbowym, liczby zapisuje się tu jako ciąg cyfr, z których każda jest mnożnikiem kolejnej potęgi liczby stanowiącej podstawę systemu.
Np zapis "5045,7" wynika z:
5103+0102+4101+5100+710-1=5*1000+0*100+4*10+5*1+7*0,1=5000+0+40+5+0,7=5045,7
Pozycyjny, dziesiętny system liczbowy jest obecnie na świecie podstawowym systemem stosowanym niemal we wszystkich krajach. Oryginalnie pochodzi on z Indii, z których przedostał się do Europy za pośrednictwem Arabów. Od XVI wieku stosowano go obok systemu rzymskiego, w nauce, księgowości oraz tworzącej się właśnie bankowości, gdyż system ten znacznie upraszcza operacje arytmetyczne. W oficjalnych dokumentach jednak nadal zamieniano liczby w zapisie arabskim na system rzymski. W końcu, dzięki praktycznym zaletom system rzymski został prawie zupełnie wyparty na korzyść arabaskiego.
Zgodnie z przedstawioną zasadą, każdemu prostemu czy złożonemu symbolowi układu można przyporządkować wartość, zwaną wartością liczbową, krótko liczbą.
I tak, np.
Symbol Wartość w systemie Liczba
7 7 *100 siedem
56 5 * 101 + 6 * 100 pięćdziesiąt sześć
342 3 * 102 + 4 * 101 +2 * 100 trzysta czterdzieści dwa
Ogólnie oznaczając przez cn - cyfrę systemu pozycyjnego, zaś przez p - podstawę systemu, wartość reprezentowaną przez symbol liczby zapisujemy jako sumę iloczynów postaci:
cn * pn+ . . . + c2 * p2 + c1 * p1 + c0 * p0
Szesnastkowy system liczbowy to pozycyjny system liczbowy, w którym podstawą pozycji są kolejne potęgi liczby 16. Często system szesnastkowy jest określany nazwą Hex od słowa stworzonego przez firmę IBM hexadecimal. Początkowo chciano używać łacińskiego sexa zamiast hexa, ale niejednoznacznie się to kojarzyło. Do zapisu liczb potrzebne jest szesnaście cyfr. Poza cyframi dziesiętnymi od 0 do 9 używa się pierwszych sześciu liter alfabetu łacińskiego A, B, C, D, E, F.
Jak w każdym pozycyjnym systemie liczbowym, liczby zapisuje się tu jako ciągi cyfr, z których każda jest mnożnikiem kolejnej potęgi liczby stanowiącej podstawę systemu, np. liczba zapisana w dziesiętnym systemie liczbowym jako 1000, w hex przybiera postać 3E8, gdyż:
3x162 + 14x161 + 8x160 = 768 + 224 + 8 = 1000.
Hex jest powszechnie używany w informatyce, ponieważ wartość pojedynczego bajtu można opisać używając tylko dwóch cyfr szestnastkowych. W ten sposób można kolejne bajty łatwo przedstawić w postaci ciągu liczb hex. Jednocześnie zapis 4 bitów można łatwo przełożyć na jedną cyfrę hex. Przykładowy ciąg liczb w czterech systemach liczbowych przedstawiono w tabeli

Bin. Szest. Dziesięt.
00000 00 00
00001 01 01
00010 02 02
00011 03 03
00100 04 04
00101 05 05
00110 06 06
00111 07 07
01000 08 08
01001 09 09
01010 0A 10
01011 0B 11
01100 0C 12
01101 0D 13
01110 0E 14
01111 0F 15
10000 10 16
10001 11 17
10010 12 18
10011 13 19

W życiu codziennym spotykamy ślady babilońskiego systemu sześćdziesiątkowego (na przykład podział godziny na 60 minut), który jest najstarszym znanym systemem pozycyjnym - zresztą dość skomplikowanym w zapisie.