TRÓJKĄTY
Trójkąt – płaska będąca wielokątem o trzech bokach. Jeden z boków to podstawa trójkąta a pozostałe – ramiona trójkąta.
Trójkąty dzielimy ze względu na długości ich boków oraz ze względu na miary kątów.
Przy podziale ze względu na boki wyróżniamy: trójkąty różnoboczne, równoramienne i równoboczne. Przy podziale ze względu na kąty wyróżniamy: trójkąty ostrokątne, prostokątne i rozwartokątne.
Twierdzenie o długości boków: każdy bok trójkąta jest mniejszy od sumy dwóch pozostałych boków tego trójkąta
|AB| < |AC| + |BC|, |AC| < |AB| + |BC| i |BC| < |AB| + |AC| .
Twierdzenie o sumie kątów w trójkącie: suma miar kątów wewnętrznych trójkąta jest równa 180
α + β + δ = 180.
Definicja symetralnej: symetralną boku trójkąta nazywamy prostą prostopadłą do tego boku, przechodzącą przez jego środek.
Każdy trójkąt ma trzy symetralne boków,( przecinające się w jednym punkcie), który jest środkiem koła opisanego na tym trójkącie.
Definicja dwusiecznej: dwusieczna kąta jest to półprosta dzieląca kąt na połowy.
Każdy trójkąt ma trzy dwusieczne przecinające się w jednym punkcie, który jest środkiem koła wpisanego w trójkąt.
Definicja środkowej: środkowa boku trójkąta to odcinek łączący wierzchołek trójkąta ze środkiem przeciwległego boku. Każdy trójkąt ma trzy środkowe, które przecinają się w jednym punkcie, zwanym środkiem ciężkości trójkąta .
Trójkąty przystające - to takie, kiedy każdego z nich można otrzymać z innego za pomocą skończonej liczby obrotów, przesunięć i odbić.
Cechy przystawania trójkątów:
- (cecha BBB): dwa trójkąty są przystające, gdy boki jednego z nich mają te same długości, co boki drugiego trójkąta
- (cecha BKB) dwa trójkąty są przystające, gdy dwa boki jednego z nich mają te same długości, co dwa boki drugiego, a kąty pomiędzy tymi bokami w jednym i drugim trójkącie są równe
- (cecha KBK) dwa trójkąty są przystające, gdy dwa kąty jednego z nich są równe dwóm kątom drugiego, a boki zawarte pomiędzy tymi kątami w jednym i drugim trójkącie są równe.
Obwód trójkąta to suma wszystkich boków tego trójkąta.
Pole trójkąta jest równe połowie iloczynu długości podstawy i długości wysokości opuszczonej na tę podstawę.
1
p = ---- a h
2
Trójkąt równoboczny
Trójkąt równoboczny to trójkąt, którego wszystkie boki mają tę samą długość, wszystkie kąty wewnętrzne są równe i mają po 60.
Okrąg, który jest styczny do wszystkich boków trójkąta, nazywa się okręgiem wpisanym w trójkąt.
Jeżeli wszystkie wierzchołki trójkąta leżą na okręgu, to mówimy, że okrąg jest opisany na trójkącie.
Konstrukcja okręgu opisanego na trójkącie. Rysujemy symetralne boków trójkąta. Punkt ich przecięcia się jest środkiem okręgu który przechodzi przez wszystkie wierzchołki tego trójkąta.
Konstrukcja okręgu wpisanego w trójkąt. Rysujemy symetralne boków trójkąta. Punkt ich przecięcia się jest środkiem okręgu stycznego do boków trójkąta.
Wyprowadzenie wzoru na wysokość trójkąta równobocznego:
Wyprowadzenie wzoru na pole trójkąta równobocznego:
P = ½ a.h
P = ½ .a . a//3/2
P = a2 //3/4
Trójkąty nie mają środka symetrii.
Trójkąt równoboczny ma trzy osie symetrii, które są jednocześnie wysokościami,
symetralnymi, środkowymi i dwusiecznymi.
Trójkąt równoboczny ma trzy osie symetrii, które są jednocześnie dwusiecznymi kątów, wysokościami, symetralnymi i środkowymi boków figury.
Trójkąt równoramienny
Trójkąt równoramienny – trójkąt o (co najmniej) dwóch bokach równej długości nazywane ramionami. Trzeci bok to podstawa. Kąty przy podstawie mają taką samą miarę.
Konstrukcja okręgu opisanego na trójkącie. Rysujemy symetralne boków trójkąta. Punkt ich przecięcia jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie.
Konstrukcja okręgu wpisanego w trójkąt. Rysujemy dwusieczne kątów trójkąta. Punkt ich przecięcia się jest środkiem okręgu stycznego do boków trójkąta.
Trójkąt równoramienny posiada jedną oś symetrii - przecinającą podstawę w połowie długości oraz przechodzącą przez wierzchołek kąta łączącego ramiona.
Trójkąt równoramienny ma jedną oś symetrii i jest ona jednocześnie dwusieczną kąta (δ) zawartego między ramionami oraz pokrywa się z wysokością figury, symetralną i środkową podstawy.
Trójkąt prostokątny
Ma jeden kąt prosty, a dwa pozostałe są ostre i suma ich jest równa 90.
Pole trójkąta prostokątnego = P = a • b
Konstrukcja okręgu opisanego na trójkącie. Rysujemy symetralne boków trójkąta. Punkt ich przecięcia jest środkiem okręgu który przechodzi przez wszystkie wierzchołki tego trójkąta.
Konstrukcja okręgu wpisanego w trójkąt. Rysujemy symetralne boków trójkąta. Punkt ich przecięcia się jest środkiem okręgu stycznego do boków trójkąta.
Twierdzenie Pitagorasa.
Jeżeli trójkąt jest prostokątny, to suma kwadratów długości przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej.
a2 + b2 = c2
Twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa.
Jeżeli w trójkącie suma kwadratów długości dwóch krótszych boków jest równa kwadratowi długości najdłuższego boku, to trójkąt jest prostokątny.
Trójkąt prostokątny może mieć 1 oś symetrii , jeżeli przyprostokątne będą tej samej długości.
Rysunek.
Trójkąt różnoboczny to taki w którym każdy bok ma inną długość i każdy kąt ma inną miarę.
Konstrukcja 3 wysokości.
Trapez
Trapezem nazywamy czworokąt, który ma przynajmniej jedną parę boków równoległych. Boki równoległe (a i b) nazywamy podstawami trapezu.
Suma miar kątów leżących przy tym samym ramieniu jest równa 180.
Obwód trapezu to suma wszystkich boków a+b+c +d
Trapez nie posiada środka symetrii. Jeżeli trapez będzie równoramienny (nierównoległe boki będą tej samej długości) wtedy będzie miał 1 oś symetrii.
Romb
Romb to czworokąt który ma wszystkie boki równej długości. Przeciwległe kąty mają jednakowe miary. Suma miar wszystkich kątów sąsiednich wynosi 180. Przekątne przecinają się w połowie.
Obwód rombu to obw= 4xa
Pole rombu to; P = a.h
Romb posiada środek symetrii. Posiada 2 osie symetrii.
Prostokąt
Prostokąt to czworokąt, który ma wszystkie kąty proste. Przekątne przecinają się w połowie i są prostopadłe.
Obwód prostokąta to obw. = 2a + 2b
Pole prostokąta to: P= a.b
Prostokąt posiada środek symetrii. Posiada 2 osie symetrii.
Kwadrat
Kwadrat to czworokąt który mna wszystkie kąty proste i wszystkie boki równej długości. Przekątne mają jednakowe długości , przecinają się w połowie i są prostopadłe.
Obwód kwadratu = obw =4a
Pole kwadratu; P=a2
Kwadrat posiada środek symetrii. Posiada 4 osie symetrii.
Czworokątem (czworobokiem) nazywamy wielokąt o czterech bokach. Suma kątów każdego czworokąta jest równa 360.
Czworokąt to wielokąt płaski o czterech bokach. Wśród czworokątów można wyróżnić m.in.:
• trapezy
• równoległoboki,
• prostokąty
• romby
• kwadraty (czyli czworokąty foremne)
• deltoidy
• trapezoidy
Czworokąt wypukły można wpisać w okrąg wtedy i tylko wtedy, gdy:
Czworokąt wypukły można opisać na okręgu wtedy i tylko wtedy, gdy:
Czworokąt opisany na okręgu
Czworokąt wypukły można opisać na okręgu (czyli w czworokąt można wpisać okrąg) wtedy i tylko wtedy, gdy sumy długości przeciwległych boków są równe.
Czworokąt wpisany w okrąg
Czworokąt można wpisać w okrąg (czyli na czworokącie można opisać okrąg) wtedy i tylko wtedy, gdy suma miar przeciwległych kątów wewnętrznych jest równa 1800.
• W każdy kwadrat można wpisać okrąg, promień okręgu wpisanego w kwadrat jest połową długości boku kwadratu
• Na każdym kwadracie możemy opisać okrąg, promień okręgu opisanego na kwadracie jest równy połowie przekątnej tego kwadratu
• Na każdym prostokącie można opisać okrąg, środkiem tego okręgu jest punkt przecięcia przekątnych tego prostokąta
• Punkt przecięcia przekątnych rombu jest środkiem okręgu wpisanego w romb, którego promień jest równy połowie wysokości tego rombu
• Na trapezie równoramiennym (jeśli tylko nie jest równoległobokiem) można opisać okrąg
• Przekątna to odcinek łączący przeciwległe wierzchołki wielokąta lub wielościanu, to znaczy takie, które nie leżą na jednym boku wielokąta lub na jednej ścianie wielościanu
Koło – zbiór punktów płaszczyzny oddalonych nie bardziej niż o zadaną odległość (promień koła) od zadanego punktu na płaszczyźnie (środek koła).
Promień to odcinek łączący środek koła, okręgu, kuli lub sfery z brzegiem a także długość tego odcinka. Długość promienia jest równa połowie długości średnicy.
Średnica koła to: odcinek przechodzący przez środek koła łączący jego brzegi
Cięciwa koła to odcinek o końcach na brzegu koła.
π jest równe stosunkowi obwodu koła do jego średnicy
Okrąg o(A,r) o środku w punkcie A i promieniu r – jest to zbiór wszystkich punktów płaszczyzny, które są odległe od punktu A o odległość r.
Inaczej można powiedzieć, że okrąg to brzeg koła bez jego wnętrza.
Okrąg ma środek symetrii i nieskończenie wiele osi symetrii .
Jeżeli dany jest okręg i prosta m to:
• m jest styczną do okręgu wtedy i tylko wtedy, gdy odległość O od m równa jest r
Styczna do okręgu jest prostopadła do promienia okręgu poprowadzonego do punktu styczności.
• pole powierzchni koła:
• obwód koła:
Kąt wpisany – kąt, którego wierzchołek leży na okręgu, a ramiona zawierają cięciwy tego koła.
Kąt środkowy – kąt, którego wierzchołek leży w środku okręgu, a ramiona wyznaczone są przez wychodzące z niego promienie.
Kąt wpisany jest dwa razy mniejszy od kąta środkowego opartego na tym samym łuku. Wszystkie kąty wpisane oparte na tym samym łuku są równe. Kąty wpisane oparte na łukach równej długości są równe. Kąt wpisany oparty na półokręgu jest kątem prostym. Każdy kąt wpisany oparty na średnicy jest kątem prostym.
Kąt środkowy jest dwa razy większy od kąta wpisanego opartego na tym samym łuku. Miara kąta środkowego jest taką częścią kąta pełnego, jaką częścią okręgu jest łuk, na którym ten kąt jest oparty.
Pole wycinka koła jest wprost proporcjonalne do miary kąta wycinka:
gdzie r jest promieniem okręgu, a α miarą łukową kąta wycinka.
Długość łuku jest wprost proporcjonalna do kąta
Wielokąty foremne
Wielokąt foremny to wielokąt który ma wszystkie kąty równe i wszystkie boki równej długości. Wszystkie wielokąty foremne są figurami wypukłymi.
Przykłady:
Trójkąt równoboczny, kwadrat,pięciokąt, sześciokąt, ośmiokąt.
Wzajemne położenie okręgów.
Okręgi są rozłączne kiedy mogą nie mieć punktów wspólnych.
Okręgi się przecinają kiedy mogą mieć 2 punkty wspólne.
Okręgi są okręgami stycznymi kiedy mogą mieć jeden punkt wspólny.
Aby narysować dwusieczną, należy:
Z wierzchołka O danego kąta dowolnym promieniem zakreślić łuk, który przetnie ramiona kąta w punktach A, B Z punktów A i B taką samą rozwartością cyrkla zakreślić łuki, które przetną się w punkcie C. Prosta OC jest dwusieczną .
Symetralna odcinka - prosta prostopadła do danego odcinka i przechodząca przez jego środek. Każdy punkt symetralnej jest jednakowo oddalony od końców odcinka.
Czworokąt można wpisać w okrąg (czyli na czworokącie można opisać okrąg) wtedy i tylko wtedy, gdy suma miar przeciwległych kątów wewnętrznych jest równa 1800.