TW: dla kazdej liczby pierwszej p i kazdej liczby naturalnej n jestnieje cialo o q=p^n elementach, mianowicie cialo rozkladu wielomianu x^q-x należy Zp[x]

niech F będzie cialem rozkaldu wielomianu f= xq-x e Zp[x] , które istnieje na podstawie tw o istnieniu ciala rozkladu wielomianow

znajdziemy f ’
f ‘ = q*xq-1-1= q1 xq-1-1=(q*1)* xq-1-1=/ q=pn p-charakterystyka/ =(pn*1)x(p^n)-1-1=-1

co pozwala nam stwierdzic, ze wielomian f nie ma pierwiastkow wieloktornych, tzn wielomian f musi mieć q roznych pierwiestkow

pokażemy ze dla dowolnych elementów a i b z ciała charakterystyk prawdziwa jest równość

(a+b)p=ap+bp
stosujac wzor newtona
(a+b)p= ap+(p1)ap-1b+(p2)ap-2b2+…..+(pp-1)abp-1+bp

//(ab) to jest symbol newtona czy jak to sie tam nazywa

(pk)=p! / k!(p-k)! = p(p-1).....(p-k+1) / k!

Liczba p dzieli licznik, ale nie dizeli mianownika ponieważ 0=
Tak wiec pozostaje (a+b)p=ap+bp
Stosujac redukcje względem n otrzymujemy (a+b)p^n=ap^n+bp^n

Oznaczmy przez TcF podzbior ciala F utworzony z pierwiastkow wielomianu f. Jeśli a i b e T to a^q = a, b^q=b oraz (a+b)q=aq+bq = a+b

Wtedy a+b jest pierwiestkiem wielomianu F, a+beT
Z tego wunika ze F jest grupa addytywna względem dodawania
(ab)^q=a^q*b^q=ab => cialo przemienne względem dodawania i mnozenia

podzbior elem (????) =/= 0 T tworzy podgrupe grupy muliplikatywnej F (tzn F bez 0)

T zawiera wszystkie pierwiastki wielomianu f i zawiera tez ciało Zp (bo każde ciało skończone zawiera ciało izomorficzne Zp)

T jest cialem rozkladu wielomianu f zawierajacym się w ciele F. Tak wiec F=T

Udowodnilismy ze cialo rozkladu wielomianu xq-x ma q elementow