Max Planck i teoria ciała doskonale czarnego.

14 grudnia 1900 roku na posiedzeniu Niemieckiego Towarzystwa Fizycznego w Berlinie Max Planc przedstawił wyprowadzenie prawa ciała doskonale czarnego. Dzień ten uważany jest za datę narodzin fizyki kwantowej. W swym teoretycznym wyprowadzeniu wyrażenia na natężenie promieniowania w funkcji długości fali i temperatury, Planc odszedł od fizyki klasycznej robiąc radykalne, klasycznie nieuzasadnione założenie, które wyjaśnię w dalszej części referatu. Max Planc pierwszym badaczem, któremu udało się rozwiązać zagadnienie promieniowania ciała doskonale czarnego.

Promieniowanie ciała doskonale czarnego

Wiadome jest, że dowolne ciało ogrzane do dostatecznie wysokiej temperatury zaczyna wysyłać promieniowanie widzialne, przy czym ciało ogrzane do temperatury wyższej promieniuje bardziej intensywnie niż ciało o niższej temperaturze. Wskazuje to na ścisły związek między natężeniem promieniowania ciała, a jego temperaturą. Proces wysyłania promieniowania przez ciało zachodzi w każdej temperaturze wyższej od zera bezwzględnego (T>0 K) i nosi nazwę promieniowania cieplnego. Promieniowanie to jest wynikiem wysyłania przez ciało fal elektromagnetycznych.

Długości fal promieniowania cieplnego ciał o wysokich temperaturach leżą w zakresie widzialnym, ultrafioletowym, a nawet rentgenowskim widma fal elektromagnetycznych. Ciała o temperaturach niższych wysyłają promieniowanie z zakresu podczerwieni, a o bardzo niskich – z zakresu fal radiowych.

Ilość wysyłanego przez dane ciało promieniowania o danej długości fali określa widmowa zdolność emisyjna R&, zdefiniowana jako moc /P promieniowania wysyłanego z jednostki powierzchni /S ciała w jednostkowym przedziale długości fal /&, czyli

Całkowita zdolność emisyjna R ciała jest to moc promieniowania w całym zakresie długości fal, wysyłanego z jednostki powierzchni ciała. Wyraża się ona całką

Zdolności emisyjne ciała, zarówno widmowa jak i całkowita, zależą od rodzaju ciała i jego temperatury.

Teoretyczny opis promieniowania cieplnego przeprowadza się dla wyidealizowanego ciała, zwanego ciałem doskonale czarnym. Jest to ciało, które pochłania całkowicie padające nań promieniowanie. Chociaż ciało takie nie istnieje w przyrodzie, możemy zbudować model, będący w dobrym przybliżeniu ciałem doskonale czarnym.

Wyobraźmy sobie wnękę wydrążoną w dowolnym ciele, połączoną z otoczeniem niewielkim otworem (rys. 1). Promieniowanie padające na ten otwór i dostające się do wnęki będzie ulegało wielokrotnemu odbiciu od ścianek wnęki, wskutek czego zostanie prawie całkowicie pochłonięte zanim odbita wiązka trafi z powrotem do otworu. Otwór wnęki ma zatem własności ciała doskonale czarnego; np. otwarte okno zawsze wydaje się ciemne gdyby patrzeć nań z ulicy. Ciało doskonale czarne ma ważną właściwość, mianowicie:

Ciało doskonale czarne ma maksymalną zdolność emisji w każdej temperaturze.

Na rysunku 2 pokazano rozkład widmowych zdolności emisyjnych wolframu i ciała doskonale czarnego w temperaturze 2000 K. Z porównania krzywych widzimy, że wolfram ma znacznie niższą zdolność emisyjną niż ciało doskonale czarne.

Wzór Planca
Planc założył, że energia przypadająca na jeden stopień swobody oscylatora nie jest równa kT (całkowitej energii każdej fali w przedziale od do + d ), lecz całkowitej liczbie r pomnożonej przez pewną bardzo małą porcję energii E, oraz że liczba oscylatorów nm o energii rE podlega rozkładowi Boltzmanna, czyli że

Energia nm oscylatorów wynosi zatem

Średnią energię pojedynczego oscylatora obliczamy z zależności

Wprowadzając do tej zależności oznaczenie x=exp (-E/kT) i uwzględniając, że r jest liczbą całkowitą – możemy zależność tę zapisać w postaci

Dla x<1 szeregi występujące w liczniku i mianowniku są zbieżne. Suma szeregu występującego w liczniku wynosi (1-x)-2, a suma szeregu występującego w mianowniku (1-x)-1. Podstawiając te wartości do licznika i mianownika, i wracając do poprzednich oznaczeń, po prostych przekształceniach otrzymamy

Mnożąc otrzymamy wynik przez wyrażenie , tj. przez liczbę zawartych w jednostce objętości wnęki, otrzymamy wzór na gęstość energii przypadającej na przedział długości fal d , czyli

Dla dowolnej małej wartości E wyrażenie. Podstawiając tę wartośc do poprzedniego wzoru widzimy, że wzór ten przekształca się we wzór Rayleigha-Jeansa. Z kolei pamiętając, że wzór Wiena

Dobrze zgadza się z wynikami doświadczalnymi dla fal krótkich, dla których zachodzi

Możemy nie popełniając dużego błędu pominąć we wzorze na gęstość energii przypadającej na przedział długości fal d wyraz 1 w mianowniku. Wyrażenie to będzie podobne do wzoru Wiena, jeżeli wykładniki będą równe, tzn. gdy

Wyznaczając z tej równości E i zastępując iloczyn C2k przez iloczyn nowej stałej h pomnożonej przez prędkość światła c, otrzymamy

Nowa stała h nosi nazwę stałej Planca. Jej wartość, wyznaczona na podstawie zjawiska fotoelektrycznego, wynosi h=6,62 * 10-34 J *s.

Korzystając z poprzedniej zależności wzór na gęstość energii przypadającej na przedział długości fal d możemy zapisać w postaci

Wzór ten dobrze się zgadza z wynikami doświadczalnymi.

Wnioski wynikające z teorii Planca mają fundamentalne znaczenie dla fizyki współczesnej. Wynika z niej, że promieniowanie nie ma charakteru ciągłego, lecz ma charakter dyskretny – energia promieniowania jest wysyłana porcjami. Energia promieniowania ciała doskonale czarnego nie może zatem przyjmować dowolnych wartości, lecz musi być wielokrotnością kwantu energii, wyrażonego wzorem

Powyższa własność nazywa się kwantowością. Kwanty energii promieniowania elektromagnetycznego nazywa się fotonami.
Korzystając z hipotezy kwantów, Planc wyprowadził wzór na widmową zdolność emisyjną ciała doskonale czarnego

Przez scałkowanie R względem otrzymujemy wyrażenie na całkowitą zdolność emisyjną ciała doskonale czarnego

Gdzie k – stała Boltzmanna. Związek ten zapisuje się często w postaci

Przy czym =5,67 *10-8 W/m2 * K4. Jest to prawo Stefana Boltzmana, które mówi, że

Całkowita zdolność emisyjna ciała doskonale czarnego jest proporcjonalna do czwartej potęgi jego temperatury bezwzględnej.

Dla dowolnego ciała rzeczywistego emisja promieniowania ma mniejszą wartość i można ją wyrazić wzorem

Gdzie A oznacza zdolność absorbcyjną danego ciała. Dla ciała doskonale czarnego A=1, dla ciał rzeczywistych 0<A<1. Ciało doskonale odbijające ma A=0.

Widmowa zdolność emisji (rys. 2) ma wartość maksymalną dla pewnwj długości fali , którę możemy obliczyć z warunku na ekstremum funkcji , tj. z warunku

Różniczkując wzór na widmową zdolność emisyjną ciała doskonale czarnego względem dochodzimy do prostej zależności

Gdzie b=2898 10-6 m*K. Wzór ten nazywa się prawem przesunięć Wiena. Zgodnie z nim:

Ze wzrostem temperatury maksimum promieniowania ciała przesuwa się w stronę fal krótszych.

Efekt taki obserwujemy bez trudu jako zmianę barwy ciała, które ogrzewamy do wysokiej temperatury.