Liczba π
Liczba π jest liczbą niewymierną, określającą stosunek długości okręgu do długości jego średnicy.
π=3,141592...
Symbol π został pierwszy raz użyty w 1706 roku przez matematyka angielskiego Wiliama Jonesa. W powszechne użycie wszedł dopiero w połowie XVIII wieku po wydaniu Analizy L. Eulera. Najważniejszą w historii liczby π, prawdziwie przełomową datą był rok 1882, w którym matematyk niemiecki F. Lindemann wykazał ostatecznie, że liczba π jest liczbą przestępną (to znaczy, że nie może ona być pierwiastkiem równania algebraicznego o współczynnikach całkowitych). Wykazał on w ten sposób nierozwiązalność słynnego w starożytności zagadnienia kwadratury koła.
Liczba π nazywana bywa często „ludolfiną”. Nazwa „ludolfina” pochodzi od imienia matematyka holenderskiego Ludolfa van Ceulena, który w 1610 roku obliczył wartość liczby π z dokładnością do 35 cyfr po przecinku. Interesująca jest historia tej liczby.
Oto najważniejsze jej oszacowania:
Babilończycy (ok. 2000 r. p.n.e.)
Egipcjanie (ok. 2000 r. p.n.e.)
Archimedes (III w. p.n.e.) - matematyk i fizyk grecki
Klaudiusz Ptolomeusz (II w. n.e.) - matematyk grecki
Alchwarizmi (rok 830) - uczony arabski
Bhskara (XII w.) - słynny matematyk hinduski
Leonardo z Pizy (ok. 1170-1240) (oszacowanie obwodów 96-kątów foremnych),
Piotr Metius (rok 1585) - matematyk i astronom holenderski
Franois Viète (XVI w.) - matematyk francuski
John Wallis (rok 1656) - matematyk i teolog angielski
lub inny zapis tego iloczynu nieskończonego:
Leonhard Euler - matematyk, fizyk i astronom szwajcarski
Gotfried Wilhelm Leibniz (rok 1673) - matematyki i filozof niemiecki
Czyż to nie fascynujące, że jedna i ta sama liczba π wykazuje tak przedziwne i różnorodne związki z arytmetyką, że można ją otrzymać jako sumy różnych szeregów, granice różnych ciągów?
Liczba π przechodziła wiele przemian i odmian. Od ustalonej przez Archimedesa wartości 22/7 , która dawała dwa rzędy dziesiętne po przecinku, dochodzi do rozwinięcia dziesiętnego z 707 cyframi po przecinku, danego przez Shanksa.
Poniższa tabela wskazuje przebieg tego postępu, z pominięciem jednak drobnych zmian od roku 250 przed naszą erą do roku 1464 naszej ery.
| Rok | Nazwisko | Liczba znaków dziesiętnych ustalonych |
|---|---|---|
| 250 p.n.e. 1464 --- 1580 1585 1579 1596 1597 1615 1621 1705 1706 1719 1789 1841 1844 1847 1853 1853 1853 1853 1853 1854 1855 1873 | Archimedes Regiomontanus astronomowie hinduscy J. Rhaeticus Piotr Metius Viète Ludolf Van Ceulen Adrian Romanus Ludolf Van Ceulen Snellius Abr. Sharp Machin De Lagny Vega Rutheford Dahse Clausen Shanks Rutheford Shanks Shanks Richter Richter Richter Shanks | 2 3 3 8 6 11 20 16 32 35 72 100 127 143 208 205 250 318 440 530 607 333 400 500 707 |
Poniższa tabela obrazuje postęp w obliczeniach kolejnych cyfr rozwinięcia liczby π za pomocą maszyn cyfrowych.
| Nazwisko | Rok | Typ maszyny | Ilość cyfr rozwinięcia |
|---|---|---|---|
| G. Reitwiesner S. C. Nicholson J. Jeenal F. Genuys Daniel Shanks (nie spokrewniony z Williamem) i J. Wrench J. Gilloud i A. Fillatore J. Gilloud i M. Dichamp J. Gilloud i M. Bouyer | 1949 1954-55 1958 1959 1961 1966 1967 1974 | ENIAC NORC IBM 704 IBM 704 IBM 7090 STRETCH CDC 6600 ? | 2037 3089 10000 16167 100265 250000 500000 1000000 |
Jeszcze słów kilka należy poświęcić mnemotechnice liczby π. Zapamiętanie kilkunastu początkowych cyfr po przecinku w rozwinięciu dziesiętnym liczby π, nie jest sprawą łatwą, lecz tutaj matematyce przychodzi na pomoc poezja. Znane są wiersze, które bardzo prosto rozwiązują ten problem. Licząc litery w poszczególnych wyrazach otrzymujemy kolejne cyfry π. Liczba π weszła także do języka potocznego: "pi razy oko".
Oto niektóre z wierszy i powiedzeń:
Kazimierz Cwojdziński (pisownia wiersza dawna)
Kuć i orać
w dzień zawzięcie,
bo plonów
niema bez trudu.
Złocisty szczęścia okręcie
kołyszesz....
Kuć.
My nie czekajmy cudu.
Robota.
To potęga ludu.
Uwaga: według dawnej pisowni "niema" (w znaczeniu brak) pisało się łącznie.
Inwokacja Witolda Rybczyńskiego do Mnemozyny, bogini pamięci, ogłoszoną w „Problemach” (nr8/1949), zaznaczając, że zamiast słowa zadania należy wstawić problemu, a myślnik oznacza cyfrę zero.
Daj, o pani, o boska Mnemozyno, pi liczbę, którą też zowią ponętnie ludolfiną, pamięci przekazać tak, by jej dowolnie oraz szybko do pomocy użyć, gdy się zadania nie da inaczej rozwiązać, pauza - to zastąpić liczbami.
Polska trawestacja wiersza rosyjskiego
Kto z woli i myśli zapragnie
Pi spisać cyfry, ten zdoła ...
Wiersz Wisławy Szymborskiej.
Liczba Pi
Podziwu godna liczba Pi
trzy koma jeden cztery jeden.
Wszystkie jej dalsze cyfry też są początkowe,
pięć dziewięć dwa ponieważ nigdy się nie kończy.
Nie pozwala się objąć sześć pięć trzy pięć spojrzeniem
osiem dziewięć obliczeniem
siedem dziewięć wyobraźnią,
a nawet trzy dwa trzy osiem żartem, czyli porównaniem
cztery sześć do czegokolwiek
dwa sześć cztery trzy na świecie.
Najdłuższy ziemski wąż po kilkunastu metrach się urywa
podobnie, choć trochę później, czynią węże bajeczne.
Korowód cyfr składających się na liczbę Pi
nie zatrzymuje się na brzegu kartki,
potrafi ciągnąć się po stole, przez powietrze,
przez mur, liść, gniazdo ptasie, chmury, prosto w niebo,
przez całą nieba wzdętość i bezdenność.
O, jak krótki, wprost mysi, jest warkocz komety!
Jak wątły promień gwiazdy, że zakrzywia się w lada przestrzeni!
A tu dwa trzy piętnaście trzysta dziewiętnaście
mój numer telefonu twój numer koszuli
rok tysiąc dziewięćset siedemdziesiąty trzeci szóste piętro
ilość mieszkańców sześćdziesiąt pięć groszy
obwód w biodrach dwa palce szarada i szyfr,
w którym słowiczku mój a leć, a piej
oraz uprasza się zachować spokój,
a także ziemia i niebo przeminą,
ale nie liczba Pi, co to to nie,
ona wciąż swoje niezłe jeszcze pięć,
nie byle jakie osiem,
nieostatnie siedem,
przynaglając, ach, przynaglając gnuśną wieczność
do trwania.
Wiersz ułożony podczas zmagań sportowych na Mundialu w Argentynie:
Już i Lato i Deyna
strzelili do bramki obcej
dwa karne
Lubański dostrzegł mistrza Szarmacha
gdy on tak wypuścił cios szacha
że zdobyć musi cel gry
krzyknął Gol na Mundial Argentyna
Poniżej podane jest rozwinięcie dziesiętne liczby л z dokładnością 50 cyfr po przecinku:
π=3,14159265358979323846264338327950288419716939937510...
Ciekawostki
Liczba 31415926535897932384626433832795028841 zestawiona z początkowych 38 cyfr rozwinięcia dziesiętnego liczby π, jest pierwsza.
1 rok świetlny równa się w przybliżeniu π•107•c (km), gdzie c oznacza prędkość światła (w kilometrach na sekundę). Liczba sekund w roku wynosi 365•24•60•60=31 536 000, co w przybliżeniu wynosi π•107•c.
Uczeni szukając kontaktu z cywilizacjami pozaziemskimi, wysłali w kosmos drogą radiową informację o wartości liczby π. Wierzą, że inteligentne istoty spoza Ziemi znają tę liczbę i rozpoznają nasz komunikat.