Historia matematyki -Wiek XIX

HISTORIA MATEMATYKI - WIEK XIX

Charakterystyka epoki:
• Rewolucja francuska i okres napoleoński stworzyły korzystne warunki dla rewolucji przemysłowej w Europie, co wzmogło uprawianie nauk fizycznych, a tym samym prawie idealne warunki dla rozwoju matematyki.
• Zaistniała konieczność zreformowania i odmłodzenia szkół i uniwersytetów.
• Źródłem rozwoju matematyki nie była już tylko praktyka. Nastąpiło oddzielenie matematyki czystej i stosowanej.
• Najlepiej matematyka rozwijała się we Francji, nieco później w Niemczech oraz w innych krajach, które wprowadzały radykalne zmiany związane z rewolucją przemysłową. Natomiast najwolniej matematyka rozwijała się w Anglii.
• Matematycy nie żyli już na dworach królewskich ani na salonach arystokracji, lecz byli członkami – nauczycielami, wykładowcami i badaczami na uniwersytetach i szkołach technicznych.
• Matematycy zaczęli pracować w bardzo wielu wąskich dziedzinach, których metody znali tylko specjaliści ( geometria, analiza matematyczna, algebra, teoria mnogości, później także fizyka matematyczna, statystyka matematyczna oraz logika matematyczna). W drugiej połowie XIX wieku pojawiły się próby syntezy różnych działów matematyki.
• W pracach naukowych zaczęto używać języków narodowych, zamiast łaciny.
• Powstało wiele szkół technicznych, w tym słynna Ecole Polytechnique w Paryżu (1794r.), z którą związani byli wybitni matematycy i inżynierowie. Właśnie dla tej uczelni powstawały książki nowego typu, nie specjalistyczne, lecz podręczniki akademickie, będące do dziś wzorem dla matematyków.
• W XIX w. nastąpił intensywny rozwój teorii liczb (Carol Fryderyk Gauss), teorii funkcji analitycznych (Augustin Cauchy, Karol Weierstrass), geometrii różniczkowej (C. F. Gauss, Bernhard Riemann), powstała geometria rzutowa (Jean Victor Poncelet, Jacob Steiner), Mikołaj Iwanowicz Łobaczewski i Janos Bolyai niezależnie od siebie stworzyli pierwszą geometrię nieeuklidesową, dynamicznie rozwijała się algebra wyższa, zwłaszcza teoria grup (Niels Henrik Abel, varist Galois). Należy wspomnieć, że prace Galois zapoczątkowały nowy nurt badań w algebrze, z którego wywodzi się współczesna algebra abstrakcyjna, której przedmiotem badań są grupy, pierścienie, ciała, przestrzenie liniowe i inne, rozwijała się teoria funkcji rzeczywistych (Weierstrass) i arytmetyka teoretyczna (Leopold Kronecker, Julius Wihelm Richard Dedekind). Szczególnie istotne dla matematyki XIX w. było powstanie i gwałtowny rozwój teorii mnogości (George Cantor), której głównej zadaniem było badanie zbiorów nieskończonych i która miała ogromny wpływ na dalszy rozwój matematyki, a także intensywny rozwój badań w dziedzinie logiki matematycznej i podstaw matematyki (George Frege, Giuseppe Peano, David Hilbert, Kurt Gdel i in.).


AUGUSTIN LOUIS CAUCHY (1789-1875)
baron, matematyk francuski, twórca ścisłego wykładu analizy matematycznej. Cauchy był jednym z najwybitniejszych matematyków XIX w., związany z Ecole Polytechnique. Interesował się wieloma dziedzinami matematyki, a także fizyką, mechaniką i astronomią. Ukończył studia techniczne. W wieku 21 lat został inżynierem. Przez trzy lata pracował przy budowie portu Cherbourg, systematycznie studiując matematykę. W tym czasie dokonał pierwszych odkryć, także w zakresie teorii światła i mechaniki. Po przywróceniu we Francji monarchii i reorganizacji francuskiej instytucji naukowych Cauchy pełnił różne funkcje naukowe. Po upadku monarchii opuścił Francję, dając w ten sposób wyraz swoim przekonaniom politycznym. Zatrzymał się najpierw w Szwajcarii, potem został profesorem matematyki w Turynie (we Włoszech), a następnie przez pięć lat był wychowawcą syna Karola X, obalonego króla Francji. W 1838r. Cauchy wrócił do Paryża i poświęcił się pracy naukowej. Cauchy jest autorem 7 publikacji książkowych i ponad 800 rozpraw naukowych, dotyczących głównie analizy matematycznej.
Cauchy jest twórcą matematycznej teorii sprężystości. Należy też do pionierów nowych kryteriów ścisłości w matematyce. Za czasów Cauchy'ego rachunek różniczkowy i całkowy, rozwijający się od czasu jego odkrycia przez angielskiego fizyka i matematyka Izaaka Newtona i niemieckiego filozofa i matematyka Gottfrieda Wilhelma Leibniza, był już ważną dyscypliną matematyczną. Zawierał jednak tylko intuicyjnie wprowadzone pojęcia i wiele niejasności. Cauchy starał się uporządkować i wyjaśnić podstawy tego rachunku. Sformułował w sposób ścisły pojęcie granicy, określił wartość nieskończenie małą jako wartość zmienną o granicy 0, zdefiniował szereg liczbowy oraz pojęcie i kryteria jego zbieżności (kryterium Cauchy'ego). Określił pochodną jako granicę przy i0 stosunku

Zastępując i przez αh, gdzieα nieskończenie mała, pisał

oraz h nazywał różniczką funkcji y = f(x).
Wydana przez Cauchy'ego książka Cours d'analyse (Wykłady analizy) rozpowszechniła jego idee i zainspirowała matematyków do weryfikacji podstaw analizy matematycznej. Odtąd zaczęło się przekształcanie analizy w ścisłą dyscyplinę matematyczną. Zasługą Cauchy'ego było również uporządkowanie i rozwinięcie teorii równań różniczkowych. Sformułował przy tym jedno z najważniejszych zagadnień granicznych nazwane zagadnieniem Cauchy'ego. Udowodnił też wiele twierdzeń o istnieniu i jednoznaczności rozwiązania dla różnego typu równań różniczkowych zwyczajnych i cząstkowych. Cauchy zajmował się również funkcjami zmiennej zespolonej. Należy tu wspomnieć o jego twierdzeniu całkowym o residuach, ogłoszonym w 1831r., które mówi, że każdą funkcję regularną f(z) można rozwinąć wokół każdego punktu w szereg zbieżny wewnątrz okręgu przechodzącego przez najbliższy punkt osobliwy. Jego prace w tej dziedzinie stały się punktem wyjścia teorii funkcji analitycznych. Cauchy podjął też badania zagadnień z zakresu teorii grup skończonych. Zajmował się również problemami fizyki teoretycznej. Był jednym z tych matematyków, którzy wyposażyli falową teorię światła w odpowiedni aparat matematyczny.



NIELS HENRIK ABEL (1802-1829)
Matematyk norweski. Pochodził z biednej rodziny, jego ojciec był pastorem. Uczył się w szkole katedralnej w Christianii (obecnie Oslo), gdzie od najmłodszych lat wykazywał wielkie zdolności matematyczne. W wieku 15 lat pod kierunkiem swego nauczyciela Bernta Holmboe'a Abel zaczął studiować matematykę wyższą czytając dzieła Eulera, Lagrange'a i Laplace'a. W wieku lat 16 udało mu się udowodnić wzór dwumianowy dla dowolnego wykładnika rzeczywistego. Po śmierci ojca, w 1820 roku, musiałby przerwać naukę w szkole i zająć się zarobkowaniem na utrzymanie matki i rodzeństwa - na szczęście Holmboe pomógł mu uzyskać stypendium i rok później Abel mógł podjąć studia wyższe na Uniwersytecie w Christianii, który ukończył w 1822. W latach 1825-1827 przebywał na koszt państwa w Berlinie i Paryżu. Od 1827 był docentem uniwersytetu w Chrystianii. Jeszcze w szkole Abel podjął badania nad rozwiązaniem równań piątego stopnia przez pierwiastniki, następnie zainteresował się równaniami całkowymi i całkami eliptycznymi, które doprowadziły go do funkcji eliptycznych. Badania nad funkcjami eliptycznymi prowadził w rywalizacji z Carl Gustawem Jacobem Jacobim. Jego odkrycia dotyczące tej dziedziny wstrząsnęły samym Adrianem Marie Legendarem, który poświęcił wiele czasu całkom eliptycznym. W 1824 r. podjął na nowo badania nad rozwiązalnością równań algebraiczych stopnia 5 i przy pomocy stworzonej niezależnie od Evariste Galois teorii grup udało mu się udowodnić, że w ogólnym przypadku równanie takie nie daje się rozwiązać przez pierwiastniki. Inne jego prace dotyczyły zbieżności szeregów liczbowych i potęgowych. W 1829 r. Uniwersytet Berliński, w uznaniu jego zasług zaproponował mu objęcie katedry matematyki. Niestety, kilka dni po otrzymaniu tej wiadomości, Abel zmarł na gruźlicę, której nabawił się wskutek złych warunków życia w dzieciństwie i młodości.
Dziś mówimy o równaniu całkowym Abela, o twierdzeniu Abela o sumie całek funkcji algebraicznych, które prowadzi do funkcji apelowych. Natomiast grupy przemienne nazywa się grupami apelowymi, co wskazuje na bliski związek idei Galois i Abela.




CARL GUSTAV JACOB JACOBI (1804-1851)
Matematyk niemiecki. Był synem berlińskiego bankiera i członkiem znanej rodziny, bowiem jego brat Moritz Hermann był w Petersburgu jednym z pierwszych uczonych rosyjskich, który doświadczalnie pracował w zakresie elektryczności. Po studiach w Berlinie Jacobi w latach 1826-1843 wykładał w Królewcu. W Berlinie też zakończył swą karierę jako członek berlińskiej Akademii Nauk. Był bystrym i liberalnym myślicielem, a przy tym pełnym zapału nauczycielem i uczonym, który pozostawił po sobie wiele śladów we wszystkich niemal gałęziach matematyki.
Jacobi jest współtwórcą teorii funkcji eliptycznych. Teorie tą oparł na czterech funkcjach określonych przy pomocy szeregów nieskończonych i zwanych funkcjami theta. Funkcje podwójnie periodyczne sn u, cn u i dn u są ilorazami funkcji theta. Spełniają one pewne tożsamości i twierdzenia o dodawaniu bardzo podobne do twierdzeń zwyczajnej trygonometrii. Twierdzenie o dodawaniu funkcji eliptycznych można uważać za szczególne zastosowanie twierdzenia Abela o sumie całek funkcji algebraicznych. Jacobi udowodnił też, że, aby uzyskać funkcje eliptyczne można odwrócić całki eliptyczne przy pomocy funkcji więcej niż jednej zmiennej. W ten sposób narodziła się teoria funkcji abelowych p zmiennych, która stała się ważną gałęzią matematyki XIX w. Sylwester nazwał jakobianem wyznacznik funkcyjny, dla uczczenia prac Jacobiego o algebrze i teorii eliminacji. Jacobi jest również bardzo znany dzięki swym wykładom o dynamice. Zawarł w nich swe badania nad równaniami cząstkowymi pierwszego rzędu i ich zastosowaniu do równań różniczkowych dynamiki. Wyznaczył też linie geodezyjne na elipsoidzie, a to prowadzi do związku między dwoma całkami apelowymi. Sformułował też jedną z zasad mechaniki.




KARL WEIERSTRASS (1815-1897)
Matematyk niemiecki. Rozwinął teorię funkcji analitycznych. Jest autorem prac z zakresu analizy matematycznej, rachunku wariacyjnego, geometrii różniczkowej, algebry liniowej. Przez wiele lat był nauczycielem w pruskich gimnazjach, a od 1856 r. był profesorem matematyki Uniwersytetu w Berlinie, gdzie wykładał przez 30 lat. Cieszył się wśród matematyków sławą doskonałego wykładowcy. Weierstras był jednym z pierwszych matematyków, którzy wobec pojawienia się geometrii nieeuklidesowej starali się stworzyć nowe fundamenty matematyki, opierając je na pojęciach arytmetycznych, a nie geometrycznych. Weierstrass rozpoczął tzw. arytmetyzację matematyki (sprowadzenie zasad analizy matematycznej do najprostszych pojęć arytmetyki) i dzięki licznym pracom zakończył, zapoczątkowany przez matematyka francuskiego Augustyna Louisa Cauchy'ego i matematyka niemieckiego Carola Fryderyka Gaussa, proces przebudowy podstaw analizy matematycznej. Weierstrassowi zawdzięcza się, jak napisał matematyk niemiecki David Hilbert, że w analizie zaistniała "całkowita zgodność i pewność dotycząca prowadzenia rozumowań opierających się na pojęciu liczby niewymiernej i granicy w ogóle". Zamiast niejasnych, intuicyjnych pojęć analizy matematycznej Weierstrass wprowadził pojęcia dobrze zdefiniowane („weierstrassowka ścisłość”). Podał do dzisiaj używaną epsilonową definicję granicy funkcji, także definicje minimum, funkcji i pochodnej. W 1861r. Weierstrass podał przykład funkcji ciągłej nigdzie nie różniczkowalnej. Funkcji takiej nie można było przedstawić graficznie, ale można było dowieść jej istnienia. Fakt ten miał zasadnicze znaczenie, ponieważ wyraźnie podważał rozpowszechnione wówczas, choć poddawane w wątpliwość, przekonanie o prawdziwości stwierdzeń oczywistych geometrycznie. Weierstrass udowodnił twierdzenie o jednostajnej aproksymacji funkcji ciągłych w danym przedziale za pomocą wielomianów; używając szeregów potęgowych, rozbudował ogólną teorię funkcji analitycznych zmiennych zespolonych, sformułował i udowodnił przy tym wiele nowych twierdzeń, zbudował teorię tzw. przedłużeń analitycznych, udowodnił twierdzenie o rozkładzie funkcji całkowitej na iloczyn nieskończony. Usunął też niejasności w podstawowych pojęciach rachunku różniczkowego i całkowego, opracował teorię funkcji Abela. Duże znaczenie miało wprowadzenie przez Weierstrassa do algebry liniowej pojęcia dzielników elementarnych. W rachunku wariacyjnym podał warunki dostateczne na istnienie ekstremum funkcjonału.



LEOPOLD KRONECKER (1823 -1891)
Matematyk niemiecki. Urodził się w Liegnitz, dawne Prusy, a obecnie Legnica, Polska. Od 1855 r. przebywał w Berlinie, gdzie przez wiele lat wykładał na Uniwersytecie nie mając formalnie katedry. Objął ją dopiero po ustąpieniu Ernesta Kummera w roku 1883. Wraz z wybitnymi matematykami pracującymi w zakresie algebry i teorii liczb algebraicznych, tj. Kummerem, Frobeniusem, Dedekindem i Kantorem należał do tak zwanej Szkoły Berlińskiej. Byli oni zwolennikami arytmetyzacji analizy. Kroncker zajmował się głównie teorią funkcji eliptycznych, teorią ideałów i arytmetyką form kwadratowych. Jego ogłoszone drukiem wykłady teorii liczb zawierają dokładny obraz odkryć własnych i poprzedników, i pokazują jasno przekonania autora o konieczności arytmetyzacji matematyki. Przekonania te były oparte na jego poszukiwaniu ścisłości. Twierdził, że matematyka powinna być oparta na liczbach naturalnych. Dla przykładu zamiast wyprowadzać liczbę π w zwykły sposób geometryczny, należy oprzeć się na szeregu 1-1/3+1/5-1/7+…, czyli na liczbach naturalnych i pewnych ułamkach łańcuchowych dla liczby π. Kronecker usiłował wtłoczyć wszystko co matematyczne w formy teorioliczbowe, a doskonałym tego dowodem jest jego wypowiedź: „Liczby naturalne stworzył Pan Bóg, wszystko inne jest dziełem ludzkim.” Uznawał definicje za poprawne tylko w przypadku, gdy można je było sprowadzić w skończonej liczbie kroków. Walczył więc z przyjmowaniem nieskończoności aktualnej. Właśnie nauka Kroneckera o nieskończoności aktualnej pozostawała w sprzeczności z teorią Dedekinda oraz Georga Kantora, z którymi nieustannie rywalizował.



GEORG FRIEDRICH BERNHARD RIEMANN – (1826 - 1866)
Matematyk niemiecki, następca Dirichleta w Getyndze, był uczonym, który bardziej niż ktokolwiek przyczynił się do nadania współczesnej matematyce jej kierunku. Był synem wiejskiego pastora. Studiował na Uniwersytecie w Getyndze, gdzie w roku 1851 uzyskał stopień doktora, w 1854 – docentem prywatnym, a w 1859 – profesorem. Był chorowity podobnie jak Abel, a swoje ostatnie dni spędził we Włoszech, gdzie zmarł mając 40 lat. W swym krótkim życiu ogłosił stosunkowo mało prac, jednak każda była i pozostała ważną. Kilka z nich zapoczątkowało nowe i bogate obszary badań.
W roku 1851 ukazała się jego tez doktorska poświęcona teorii funkcji zespolonych u + iv = f ( x + iy). Rozważał przekształcenie konforemne płaszczyzny, co prowadziło do pojęcia płaszczyzny Riemanna i równań topologicznych w analizie. Podał definicję funkcji zespolonej. Jej część rzeczywista i zespolona winny spełniać w pewnym obszarze m. in. równania Cauchy’ego-Riemanna ux = vy, uy = -vx Zajmował się także rozważaniami hydrodynamicznymi. W badaniu funkcji hipergeometrycznych i funkcji abelowych posługiwał się zasadą Dirichletta. Zawdzięczamy mu odkrycie powierzchni riemannowskiej, jako niezmiennika topologicznego i środka klasyfikującego funkcje abelowe. Riemann badał też funkcje modułowo eliptyczne, szeregi zmiennych niezależnych oraz równania różniczkowe liniowe o współczynniku algebraicznym.
W swych pracach potrzebnych do uzyskania tytułu docenta prywatnego badał warunki Dirichletta rozwijalności funkcji w szereg Fouriera oraz podał swoją definicję, która znamy jako definicję całki Riemanna. Podał też przykład funkcji ciągłej bez pochodnej, początkowo nie uznawanej przez większość matematyków. Wprowadził pojecie przestrzeni jako rozmaitości topologicznej w dowolnej liczbie wymiarów. Metryka w takiej rozmaitości była określona przy pomocy formy kwadratowej różniczkowej. Umożliwiło to klasyfikację wszystkich rodzajów geometrii. Ogłosił też pracę konkursową o rozkładzie ciepła w bryle, w której zawarł szkic teorii transformacji form kwadratowych. Riemann badał także ilość π(x) liczb pierwszych mniejszych od danej liczby x, co było przykładem zastosowania teorii liczb zespolonych do rozkładu liczb pierwszych wraz z analizą przypuszczenia Gaussa, iż π(x) można przybliżyć przy pomocy logarytmu całkowego. Jest też twórcą tak zwanej hipotezy Riemanna, że wszystkie nierzeczywiste pierwiastki funkcji dzeta Eulera rozważanej dla s = x + iy zespolonego leżą na prostej x = ½.
Jego pojęcie funkcji zmiennej zespolonej często porównuje się z ideami Weierstrassa.


MATEMATYCY ANGIELSCY
W wieku XIX matematyka czysta była w Anglii reprezentowana przede wszystkim przez algebrę z zastosowaniem głownie do geometrii. Jej przedstawicielami byli ARTHUR CAYLEY (1821-1895), JAMES JOSEPH SYLVESTER (1814-1897) oraz GEORGE SALOMON (1819-1914). Do tego grona można także zaliczyć Hamiltona oraz Clifforda.
Arthur Cayley początkowo studiował i praktykował prawo, lecz w 1863 r. objął nowa Sadleriańską katedrę matematyki w Cambridge, gdzie wykładał przez 30 lat. Przebywając w Londynie spotkał Sylwestra, który był aktuariuszem, i od tego czasu datuje się ich wspólne zainteresowanie algebrą form lub kwantyk, jak je nazwał Sylwester. Właśnie ta ich współpraca stała się początkiem teorii niezmienników algebraicznych. Jednak ich pierwsze wspólne prace wyszły poza granice wyznaczników. Świadomie podjęli próbę podania systematycznej teorii niezmienników algebraicznych z własną symboliką i regułami działań. Teoria ta, udoskonalona później przez Aronholda i Clebscha w Niemczech, stworzyła algebraiczny odpowiednik geometrii rzutowej Ponceleta. Sam Cayley zajmował się także grupami skończonymi, wyznacznikami, niezmiennikami form algebraicznych oraz krzywymi algebraicznymi, o których pisał w swych publikacjach. Poprzez rzutową definicję metryki względem stożkowej dotarł do rzutowej definicji metryki euklidesowej., a w ten sposób umożliwiło mu ustalenie miejsca geometrii metrycznej w ramach geometrii rzutowej.
James Joseph Sylvester był nie tylko matematykiem, ale także poetą i humorystą. Wraz z Leibnitzem uważany jest za największego twórcę nowych terminów w całej historii matematyki. To właśnie jemu zawdzięczmy wiele obecnie używanych terminów, jak inwariant, kowariant, kontrawariantny, kogredientny i syzygium. Przypisuje mu się wiele anegdot, wśród nich o profesorskim roztargnieniu. Do najważniejszych jego osiągnięć w zakresie algebry należą: teoria dzielników elementarnych, którą ponownie odkrył Weierstrass oraz prawo bezwładności form kwadratowych, które znali już Jacobi oraz Reimann, ale nie były one opublikowane. Sylvester był profesorem Uniwersytetów amerykańskich. Od jego wykładów rozpoczął się rozkwit matematyki w Stanach Zjednoczonych.
George Salomon był kolejnym wielkim angielskim algebraikiem-geometrą, który przez całe życie związany był z Trinity College w Dublinie, Alma Mater Hamiltona, gdzie wykładał zarówno matematykę, jak i teologię. Największą jego zasługą jest wydanie znanych podręczników, które w sposób jasny i elegancki przedstawiały najważniejsze zagadnienia z zakresu geometrii analitycznej i teorii niezmienników. Do dziś jego książki są polecane wszystkim studiującym geometrię.
Sir William Rowan Hamilton był Astronomem Królewskim Irlandii, który ukończywszy swe dzieło o mechanice i optyce zwrócił się w 1835 r. do algebry. Według Hamiltona algebra to nauka o czystym czasie. To on, niezależnie od Gaussa, skonstruował ścisłą algebrę liczb zespolonych, opartą na pojęciu liczby zespolonej jako pary liczb rzeczywistych. Hamilton próbował także zajmować się trójek liczbowych, czwórek, itd. Mówi się, że doznał olśnienia przechodząc w październiku 1843 r. pod mostem w Dublinie. Wówczas to odkrył kwaterniony, o których napisał wiele prac. Najbardziej znaną częścią jego rachunku kwaternionów stała się teoria wektorów, która stanowiła także część teorii rozciągłości Grassmana, z którym Hamilton często współpracował. Kwaterniony przez długi czas stanowiły przedmiot dyskusji.
William Kingdon Clifford był wykładowcą na Uniwersytetach w Cambridge i Londynie. Jako pierwszy z Anglików zrozumiał Riemanna i jak on żywo interesował się pochodzeniem naszych pojęć przestrzennych. Clifford rozwinął geometrię ruchu, dla badania której uogólnił teorię kwaternionów Hamiltona, wprowadzając tzw. bikwaterniony. Były to kwaterniony o współczynnikach będących liczbami zespolonymi i którymi można się również posługiwać przy badaniu ruchu w przestrzeni nieeuklidesowej.
Jego teorie były ściśle związane z myślami Feliksa Kleina. Dlatego też powstał termin przestrzenie Clifforda-Kleina na określenie pewnych zamkniętych rozmaitości euklidesowych w geometrii nieeuklidesowej.



FELIX CHRISTIAN KLEIN (1849-1925)
Był matematykiem niemieckim, profesorem uniwersytetów w Erlangen, Lipsku i Getyndze oraz politechniki w Monachium. Od 1913 był członkiem Berlińskiej Akademii Nauk.
Podróżując spotkał w Paryżu Sophusa Liego, z którym rozpoczął współpracę. Klein i Lie zaczęli rozumieć centralne znaczenie teorii grup i odtąd podzielili zakres matematyki mniej więcej na dwie części. Klein zajął się zasadniczo grupami nieciągłymi, natomiast Lie grupami ciągłymi.
Jako profesor w Erlangen przedstawił wykład na temat znaczenia pojęcia grupy dla klasyfikacji różnych działów matematyki. Wykład ten jest znany jako „Program erlageński”. W nim to Klein zdefiniował każdą geometrię jako teorie niezmienników pewnej szczególnej grupy przekształceń. Rozszerzenie lub zwężenie tej grupy pozwala przechodzić od jednego typu geometrii do drugiego. Geometria euklidesowa bada niezmienniki grupy metrycznej, geometria rzutowa – niezmienniki grupy rzutowej. Klasyfikacja grup przekształceń daje nam klasyfikację geometrii.
Klein podał także wykład funkcji zespolonych według koncepcji Riemanna. Stosował pojęcie grup do równań różniczkowych liniowych funkcji modułowych eliptycznych, funkcji abelowych i nowych funkcji „automorficznych”. Jego wykłady cieszyły się ogromnym zainteresowaniem. Natomiast Getynga pod jego przewodnictwem stała się światowym ośrodkiem badań matema