Układy równań - metoda wyznaczników

Niżej przedstawiam jedną, moim zdaniem najciekawszą, metodę rozwiązywania układów równań.

Przykładowo, schemat ogólny układu uwzględnia współczynniki przy zmiennych:

\[a_1X + b_1Y = c_1\]
\[a_2X + b_2Y = c_2\]

Powstają trzy macierze:
\[ \begin{bmatrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \end{bmatrix} \quad \begin{bmatrix} c_1 & b_1 \\ c_2 & b_2 \end{bmatrix} \quad \begin{bmatrix} a_1 & c_1 \\ a_2 & c_2 \end{bmatrix} \]

Dla powstałych macierzy obliczamy ich wyznaczniki:

Wyznacznik główny \(WG\):
\[ WG = a_1 \cdot b_2 - a_2 \cdot b_1 \]

Wyznacznik x-owy \(Wx\):
\[ Wx = c_1 \cdot b_2 - c_2 \cdot b_1 \]

Wyznacznik y-owy \(Wy\):
\[ Wy = a_1 \cdot c_2 - a_2 \cdot c_1 \]

Mając te trzy najważniejsze wyznaczniki, możemy przystąpić do rozwiązania układu:

1) Układ jest oznaczony, gdy \(WG\) jest różny od zera. Wtedy obliczamy bezpośrednio rozwiązanie układu:

\[ x = \frac{Wx}{WG} \quad \text{i} \quad y = \frac{Wy}{WG} \]

2) Układ jest nieoznaczony, gdy \(WG = 0\) i \(Wx = 0\) i \(Wy = 0\).

3) Układ jest sprzeczny, gdy \(WG = 0\) i jeden lub oba z wyznaczników \(Wx\) i \(Wy\) są różne od zera.