Ruch harmoniczny (sciaga, załącznik)

1. Położenie ciężarka zamocowanego na sprężynie, poruszającego się ruchem harmonicznym opisuje równanie: x(t)=10sinπt. Odległość podana jest w metrach, czas w sekundach. Na podstawie równania:
a. oblicz amplitudę drgań (A)
b. oblicz częstotliwość drgań (f)
c. oblicz okres drgań (T)
d. oblicz maksymalną wartość prędkości ciężarka (Vmax)
e. oblicz maksymalną wartość przyspieszenia ciężarka (amax)
f. napisz równanie określające prędkość ciężarka w zależności od czasu (v(t))
g. napisz równanie określające przyspieszenie ciężarka w zależności od czasu (a(t))
h. sporządź wykres x=f(t), v=f(t) i a=f(t) w tym ruchu.
i. oblicz jakie jest położenie, prędkość i przyspieszenie ciężarka dla t=2s (x,v,a)
….
X(t)=10sinπt
X=Asinωt
a) A=10m
b) f=ω/2π = π 1/3 / 2π = ½ Hz
c) T= 1 / ½ Hz = 2s
d) Vmax = Aω = 10m * π 1/s = 10 π m/s
e) amax= Aω2=10m(π) 2 1/s2=10π2m/s2
i) V=10πcosπt
a=-Aω2sinωt
a=10π2sinπt
x=10sin(π 1/s*2s)
x= 10m sin 2π= 10m*0=0
a=0
V=Vmax=10π m/s
2. Oscylator harmoniczny wykonał n=600 wychyleń w czasie t=120s. Jaki jest okres i częstotliwość tego ruchu?
…
T=t/n=120/600=1/5s
f=n/t=600/120=5Hz
3. Maksymalna wartość przyspieszenia w pewnym ruchu harmonicznym wynosi am=300m/s2 a amplituda tego ruchu
A=7,5 mm. Oblicz maksymalną prędkość w tym ruchu.
…
Amax= 300m/s, A=7,5mm=0,0075m, Vmax=?
ω2= amax/A
ω= pierwiastek z amax/a
ω=200 i/s
Vmax= Aω
Vmax = 0,0075m*200 1/s
Vmax= 1,5 m/s
4. Okres drgań wahadła matematycznego wynosi T1=0,5s. Po zwiększeniu długości tego wahadła okres wynosił 0,6s. O ile wydłużono wahadło.
…
T1=0,5s
T2=0,6s
∆l=?
∆l=l2-l1
T1=2π pierwiastek z l1/g
T2= 2π pierwiastek z l2/g

T2-T1= 2π(pierwiastek z l2/g - pierwiastek z l1/g) =
= 2π(pierwiastek z l2-l1/g)

0,6-0,5 = 2π pierwiastek z ∆l/g
0,1s = 2π pierwiastek z ∆l/10m/s2 /2/:2π
(0,1s/2π)2=∆l/10m/s2
0,01s2/4*9,86=∆l/10m/s
∆l=0,01s2*10m/s2 //39,4
∆l=0,01*10m//39,4
∆l=0,003m=3mm
5. Okres drgań wahadła matematycznego o długości l=0,6m na planecie X wynosi T=0,9s. Oblicz przyspieszenie grawitacyjne na tej planecie. Jak ono się różni od przyspieszenia ziemskiego?
…
L=0,6m, T=0,9s, gx=?, gx/g=?

T=2π pierwiastek z l/gx
T/2π= pierwiastek z l/gx /2
(T/2π)2=l/gx /:l
(T/2π)2//l=1/gx
l//(T/2π)2=gx
0,6m// (0,81/4π2)s2=gx
0,6m//0,81/39,4s2=gx
0,6*39,4./0,81s2=gx
Gx=30m/s2
Gx/g=30m/s2//10m/s2=3
Odp. Jest 3x większe od grawitacji Ziemi.6. W którym momencie punkt materialny ma energię kinetyczną równą energii potencjalnej?
…
Ek=Ep , t=?
½*m*A2ω2t=½* m*A2ω2t*sin2ωt /:cos2ωt
1= sin2ωt// sin2ωt = sinωt * sin2ωt // cosωt* cosωt
1=tg2ωt
(tg π/4) 2= (tgωt) 2
(π/4) 2= (ωt) 2
π/4=ωt
π/4=2π/T *t /*T/2
t=T/8
Odp.: Po czsie 1/8 okresu drgania.
7. Ciężarek o masie 100g zawieszono na sprężynie o stałej sprężystości k=100N/m i wprawiono w ruch z amplitudą = 10cm.
a. oblicz okres drgań ciężarka
b. oblicz częstotliwość drgań ciężarka
c. oblicz energię mechaniczną układu
d. zakładając, że dla t=0, x=0 napisz równanie określające
zależność położenia ciężarka od czasu.
…
m=100g=0,1kg, k=100N/m, A=10cm=,01m, T=?, f=?
T=2π pierwiastek z m/k
K=mω2
ω=2π/T
T=2π pierwiastek z l/g
a) T=2*3.14 pierwiastek z 0,1kg/100N/m =
= 6,28* pierwiastek z 0,001s2=6,28*0,00003s=0,2s
b) f=1/T; f=1,02=5Hz
c) Ec=Ek+Ep
Ec= ½ mω2A2
Ec= ½ * 0,1kg* 4π2//0,04s2 * 0,01m2=
= 0,05*4*9,85*0,01///0,04 J= 0,5J
d) c(t)=Asinωt
x=0,1sin
ω=2π/T=2,314 //0,2
ω=6,28/0,2
ω=31,4s
x=0,1 sin 31,4t